Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найдите такое значение a> 1, при котором уравнение ax=logax имеет единственное решение. в ответе укажите число e⋅lna.

Показать ответ

Ответ:

alekseevvv

02.10.2020 17:54

Найти такое $\displaystyle a\in\mathbb{R}$ , что $\displaystyle a\ \textgreater \ 1\land{\big|\{x\in\mathbb{R} \mid a^x=\log_a(x)\}\big|=1}.$

Пусть $\displaystyle f(x)=a^x,\,g(x)=\log_a(x).$

Заметим, что $\displaystyle f\left(g\left(x\right)\right)=a^{\log_a(x)}=x$ , то есть $\displaystyle g(x)=f^{-1}(x).$

$\displaystyle \forall{x}:f(x)=f^{-1}(x)\implies{x=f(x)},$ значит имеем $\displaystyle x=a^x.$

Уравнение $\displaystyle x=a^x$ имеет единственное действительное решение только тогда, когда $\displaystyle y=x$ касается $\displaystyle y=f(x).$

$\displaystyle f'(x)=\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(a^x\right)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(e^{x\log(a)}\right)}{\text{d}x}=\frac{\log(a)e^{x\log(a)}\text{d}x}{\text{d}x}=\log(a)a^x;$

$\displaystyle t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=a^{x_0}+\log(a)a^{x_0}(x-x_0);$

$\displaystyle\begin{cases}t_{x_0}(0)=0,\\\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}t_{x_0}(x)=\dfrac{\text{d}x}{\text{d}x}=1;\end{cases}$

$\displaystyle\begin{cases}0=a^{x_0}-x_0\log(a)a^{x_0},\\1=\log(a)a^{x_0} \implies a^{x_0}=\dfrac{1}{\log(a)};\end{cases}$

$\displaystyle 0=\frac{1}{\log(a)}-x_0\log(a)\frac{1}{\log(a)} \implies x_0=\frac{1}{\log(a)};$

$\displaystyle 1=\log(a)a^{1/log(a)}=\log(a)e^{\log(a)/\log(a)}=\log(a)e;$

$\displaystyle \log(a)=\frac{1}{e}\implies a=\boxed{e^{1/e}}\phantom{.};$

$\displaystyle a=e^{1/e}\implies e\log(a)=e\log(e^{1/e})=e\frac{1}{e}\log(e)=\boxed{1}\phantom{.}.$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

9000Кира0009

27.06.2020 18:42

Найти закономерность и вписать недостающую цифру: 14 22 5...

oilga03

27.06.2020 18:42

Четыре мальчика соревновались в нескольких (более одного) видах спорта. в каждом из видов спорта за одного и то же место начислялось одинаковое количество (выраженных...

3toH

21.01.2022 20:31

Средняя линия трапеции равна 47 см, а одно из оснований на 35% длиннее другого. найди основания трапеции....

kosikoffpasha

11.11.2020 20:31

Впрямоугольном треугольнике один из острых углов в 5 раз больше другого. найти острые углы этого треугольника. решить...

Lokator505

11.11.2020 20:31

Дневная норма выроботки была 15 деталий а за два дня 60 деталий.восколько раз больше рабочий изготовил деталий за один день?...

ReutovTema222

11.11.2020 20:31

Подбирая значения х,реши уравнения.х*6=12,4*х=12,12/х=3...

swecut

11.11.2020 20:31

Сложное органическое вещество 5 букв...

Лалочка454545

11.11.2020 20:31

Пешеход в первый день 12 км, а во второй день 20 км, шёл он всё время с одинаковой скоростью. во второй день он шел на 2 ч больше, чем в первый. сколько часов шёл пешеход...

MoLoDaYa666

21.08.2020 23:52

Запиши всі двоцифрові числа, у яких число десятків дорівнює 7....

2710200013

21.08.2020 23:52

Саэродрома одновременно поднялись в воздух два самолёта. один полетел на север со скоростью 850км/ч, а другой-на юг со скоростью 900км/ч. на каком расстоянии друг от друга...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку