Пишем характеристическое уравнение: k²+7*k+6=0. Оно имеет действительные неравные корни k1=-6, k2=-1. В таком случае общее решение уравнения имеет вид Yо=C1*e^(k1*x)+C2*e^(k2*x). В нашем случае Yo=C1*e^(-6*x)+C2*e^(-x). Дифференцируя это равенство, получаем Y'o=-6*C1*e^(-6*x)-C2*e^(-x). Подставляя начальные условия, приходим к системе уравнений:
C1+C2=1 -6*C1-C2=2
Решая эту систему, находим C1=-3/5, C2=8/5. Тогда искомое частное решение таково: Yч=-3/5*e^(-6*x)+8/5*e^(-x).
Проверка: Yч'=18/5*e^(-6*x)-8/5*e^(-x), Yч''=-108/5*e^(-6*x)+8/5*e^(-x). Подставляя Yч, Yч' и Yч'' в уравнение, получаем: -108/5*e^(-6*x)+8/5*e^(-x)+126/5*e^(-6*x)-56/5*e^(-x)-18/5*e^(-6*x)+48/5*e^(-x)=0=0, то есть найденное решение удовлетворяет уравнению. Теперь находим Yч(0)=-3/5+8/5=1 и Yч'(0)=18/5-8/5=2, то есть найденное решение удовлетворяет и начальным условиям. Значит, оно найдено верно.
C1+C2=1
-6*C1-C2=2
Решая эту систему, находим C1=-3/5, C2=8/5. Тогда искомое частное решение таково: Yч=-3/5*e^(-6*x)+8/5*e^(-x).
Проверка: Yч'=18/5*e^(-6*x)-8/5*e^(-x), Yч''=-108/5*e^(-6*x)+8/5*e^(-x). Подставляя Yч, Yч' и Yч'' в уравнение, получаем:
-108/5*e^(-6*x)+8/5*e^(-x)+126/5*e^(-6*x)-56/5*e^(-x)-18/5*e^(-6*x)+48/5*e^(-x)=0=0, то есть найденное решение удовлетворяет уравнению. Теперь находим Yч(0)=-3/5+8/5=1 и Yч'(0)=18/5-8/5=2, то есть найденное решение удовлетворяет и начальным условиям. Значит, оно найдено верно.
ответ: Yч=-3/5*e^(-6*x)+8/5*e^(-x).