Найти четыре первых члена разложения в ряд Маклорена решения задачи Коши. y"-3y'-4xy^4=sinx, y(0),y'(0)=2 Вопрос чему равен y(0). При решении задачи принял, что у(0) = y'(0) = 2. Хотя может быть любое другое значение. Решение: Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые четыре отличные от нуля значения y(0),y'(0),y"(0),у"'(0). По условию задачи у(0) = y'(0) = 2 Выразим из уравнения y"(0): y" - 3y' - 4xy^4 = sin(x) y"= sin(x) + 3y' + 4xy^4 y"(0) = sin(0) +3y'(0) +4*0*y(0)^4 = 3*2 = 6 Продиференцируем уравнение и найдем у"'(0) y"' - 3y'' - 4y^4 - 12xy³ = cos(x) y"' = cos(x) + 3y'' + 4y^4 + 12xy³ = cos(x) y"'(0) = cos(0) +3*6 +4*2^4 +12*0*2³ = 1+18+64 = 83 Окончательно получим: Ряд Mакларена y =y(0)+y'(0)*x+y"(0)x²/2! + y"'(0)x³/3!+...
y"-3y'-4xy^4=sinx, y(0),y'(0)=2
Вопрос чему равен y(0).
При решении задачи принял, что у(0) = y'(0) = 2.
Хотя может быть любое другое значение.
Решение:
Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые четыре отличные от нуля значения y(0),y'(0),y"(0),у"'(0).
По условию задачи у(0) = y'(0) = 2 Выразим из уравнения y"(0):
y" - 3y' - 4xy^4 = sin(x)
y"= sin(x) + 3y' + 4xy^4
y"(0) = sin(0) +3y'(0) +4*0*y(0)^4 = 3*2 = 6
Продиференцируем уравнение и найдем у"'(0)
y"' - 3y'' - 4y^4 - 12xy³ = cos(x)
y"' = cos(x) + 3y'' + 4y^4 + 12xy³ = cos(x)
y"'(0) = cos(0) +3*6 +4*2^4 +12*0*2³ = 1+18+64 = 83
Окончательно получим:
Ряд Mакларена y =y(0)+y'(0)*x+y"(0)x²/2! + y"'(0)x³/3!+...
y= 2 +2x + (6/2!)x² + (83/3!)x² = 2 + 2x + 3x² + (83/6)x³