Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти коэффицент при ${x}^{10}$
в разложении

$(1 + x + {x}^{2} ) ^{8}$

Показать ответ

Ответ:

levkamorkovka

06.10.2020 22:01

784

Пошаговое объяснение:

Согласно полиномиальной формуле,

$(1+x+x^2)^8=\sum\limits_{n_1+n_2+n_3=8,\atop n_1,n_2,n_3\in N_0}\dfrac{8!}{n_1!n_2!n_3!}1^{n_1}*x^{n_2}*(x^2)^{n_3}=\sum\limits_{n_1+n_2+n_3=8,\atop n_1,n_2,n_3\in N_0}\dfrac{8!}{n_1!n_2!n_3!}x^{n_2+2n_3}$

Тогда коэффициент при $x^{10}$ равен $\sum\limits_{n_1+n_2+n_3=8,n_2+2n_3=10\atop n_1,n_2,n_3\in N_0}\dfrac{8!}{n_1!n_2!n_3!}$

$n_2+2n_3=10\Rightarrow n_3=5-\dfrac{n_2}{2}\leq 5-\dfrac{0}{2}=5$

При этом, очевидно, $n_1,n_2,n_3\leq 8$

$n_3=0\Rightarrow n_2=10-2*0=108\Rightarrow\O$

$n_3=1\Rightarrow n_2=10-2*1=8\Rightarrow n_1+n_2+n_3\geq 0+8+1=98\Rightarrow\O$

$n_3=2\Rightarrow n_2=10-2*2=6\Rightarrow n_1=8-2-6=0$

$n_3=3\Rightarrow n_2=10-2*3=4\Rightarrow n_1=8-3-4=1$

$n_3=4\Rightarrow n_2=10-2*4=2\Rightarrow n_1=8-2-4=2$

$n_3=5\Rightarrow n_2=10-2*5=0\Rightarrow n_1=8-0-5=3$

А тогда

$\sum\limits_{n_1+n_2+n_3=8,n_2+2n_3=10\atop n_1,n_2,n_3\in N_0}\dfrac{8!}{n_1!n_2!n_3!}=\dfrac{8!}{0!6!2!}+\dfrac{8!}{1!4!3!}+\dfrac{8!}{2!2!4!}+\dfrac{8!}{3!0!5!}=\dfrac{8*7}{2}+\dfrac{8*7*6*5}{3*2}+\dfrac{8*7*6*5}{2*2}+\dfrac{8*7*6}{3*2}=4*7+8*7*5+2*7*6*5+8*7=(5*5+3)*7*4=28*28=784$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Shedhfjfdhcdgb4573

25.12.2022 18:53

При каких значениях параметра к система уравнений {3x+(k-1)y=k+1 {(k+1)x+y=3 не имеет решения...

1Nicol1

25.08.2021 02:44

Вычислите выгодным 2) 83-(-63)-(-63)-(-17);3) 58-(-18)-(-18) 18+(-18) -24;4) 803 - (23–33) - 703 - (19–29)...

Улаган

21.02.2021 09:05

1) Вычислить длину дуги y=e^(x/2)+e^(-x/2) Важно подробное интегрирования 2)Вычислить объѐм тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной линиями, вокруг...

adel2006buko

10.08.2020 10:28

Перейти к полярным координатам и построить линию, заданную указанным уравнением....

lovedeutschlan

22.10.2022 19:52

Определите максимальную кинетическую энергию фотоэлектрона при облучении лития светом с длиной волны 150 нм. Красная граница фотоэффекта для лития 2,4эв....

alima1010

28.12.2022 15:03

1) (7у - 46) × 5 = 2у + 1 2) (2у + 6) : 3 - 4 = у : 2 + 1 3) (у : 7 - 3 ) × 6 + 64 = 2у - 18 4) ( 98 - 4у ): 5 × 8 = 24у...

sangria

11.08.2021 11:04

Два приятеля, расставшись на перекрестке, разошлись по домам, причем пошли они по взаимно перпендикулярным улицам с одинаковой скоростью 4 км/час. На каком расстоянии друг...

xeniaverner

26.01.2020 16:40

Запишите формулу объёма прямоугольного паралллелепипеда, если V = его объем, а = длина, b = ширина, с = высота. найдите по формуле b если V = 4256 см3 а = 16 см, с = 14 см...

sahrona04

03.10.2020 00:35

Вадим собирался купить 26 конфет, но ему не хватало для этого 5 руб. Тогда Вадим купил 21 конфет, и у него осталось 35 руб. сдачи. Сколько стоит одна конфета?...

kapikyna

03.10.2020 00:35

Cos(1/2*arcsin 4/5 - 2*arcctg(-1/2))...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку