В
Все
М
Математика
А
Английский язык
Х
Химия
Э
Экономика
П
Право
И
Информатика
У
Українська мова
Қ
Қазақ тiлi
О
ОБЖ
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
У
Українська література
М
Музыка
П
Психология
А
Алгебра
Л
Литература
Б
Биология
М
МХК
О
Окружающий мир
О
Обществознание
И
История
Г
Геометрия
Ф
Французский язык
Ф
Физика
Д
Другие предметы
Р
Русский язык
Г
География
Katuchka001
Katuchka001
04.06.2022 09:19 •  Математика

Найти область определения функции( ) y=⁴√((x^4+5*x^2-6)/(x^2-4)) y=корень 4 степени из (x^4+5*x^2-6)/(x^2-4)

Показать ответ
Ответ:
gilsveta4
gilsveta4
04.10.2020 07:09
\displaystyle y=\sqrt[4]{\frac{x^4+5x^2-6}{x^2-4}}= \sqrt[4]{\frac{(x-1)(x+1)(x^2+6)}{(x-2)(x+2)}}; \ x \neq \pm 2; \\ \\ \frac{(x-1)(x+1)(x^2+6)}{(x-2)(x+2)} \geq 0; \qquad \frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}\geq 0; \\ \\ 
(x \leq -2 \cup -1 \leq x \leq 1 \cup x \geq 2) \cap x \neq \pm2; \\
x\ \textless \ 2 \cup -1 \leq x \leq 1 \cup x\ \textgreater \ 2; \\ \\ 
x \in(-\infty;2) \cup [-1;1]\cup (2;\infty)

А теперь, как все это получилось.
ОДЗ x≠-2 и x≠2 получается из условия недопустимости деления на ноль.
Как разложить на множители знаменатель x²-4 понятно, надеюсь.
Корень четной степени. Его ОДЗ - область неотрицательных значений подкоренного выражения. Следовательно, надо решить соответствующее неравенство.
Самая большая проблема - найти области изменения знаков в числителе x⁴+5x²-6. Попробуем разложить его на множители, для чего составим и решим биквадратное уравнение x⁴+5x²-6=0
Обозначая z=x², получим z²+5z-6=0.
D=25+24=49; √D=7; z₁=(-5-7)/2=-6; z₂=(-5+7)/2=1
Очевидно, что x²≠ -6, поскольку x²≥0, поэтому z₁=-6 не рассматриваем.
x²=1 → x₁=-1; x₂=1.
Мы нашли два корня, что позволяет записать
x⁴+5x²-6 = (x-1)(x+1)R, где R - некий оставшийся сомножитель.
Он соответствует неразрешенному нам варианту решения x²=-6 и окончательно получаем x⁴+5x²-6 = (x-1)(x+1)(x²+6), что мы и записываем в числителе.
Остается определить знаки справа и слева от характерных точек x=-2;-1;1;2 (см. вложение)

Найти область определения функции( ) y=⁴√((x^4+5*x^2-6)/(x^2-4)) y=корень 4 степени из (x^4+5*x^2-6)
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота