1) Числа, состоящие из цифр без 0 в записи числа, цифры первого различны, цифры второго совпадают с цифрами первого, отличаются (или нет) в порядке в котором расположены
таких пар чисел получится 9*7*8*3*2*1=3024
(9*7*8 - столькими можно построить первое число, с различными цифрами от 1 до 9, на первое место 9 претендентов, на второе 8, на третье 7, второе число из цифр первого можно составить на первое место одну из 3х цифр, на второе одну из 2, на третье 1,
пример число 431 на первое и на второе 431,413, 341,314, 134,143)
2) Числа состоящие из цифр без 0 в записи числа, две цифры первого одинаковы, цифры второго совпадают с цифрами первого, отличаются (или нет) в порядке в котором расположены
(9*8*3=216, цифру которая не повторяется выбрали цифру которая повторяется 8 или наоборот, второе число 3 варианту на которое поставить цифру которая не повторяется, остальные по умолчанию,
пример 311, второе число 311, 131, 113)
3) Числа состоящие из цифр первого без 0 в записи числа, три цифры первого одинаковы, цифры второго совпадают с цифрами первого, всего таких 9 чисел
111, 222, , 999 - первое и второе число
теперь если цифры первого не повторяют полностью первого и без 0 в записи
---
4) Числа, состоящие из цифр без 0 в записи числа. Третья цифра произведение двух других.
( три единицы дают 3 случай, не рассматриваем),
(-1) одна цифра является произведением двух других
(0) 2=1*2=2*1 - не подходит, учтено в случае 2
(0) 3=1*3=3*1 - не подходит, учтено в случае 2
(1) 4=1*4=2*2 - две цифры заданы для каждого числа, третья одинакова, но следует учесть порядок
ненулевую цифру отличную от 1,2,4 можно выбрать
сначала выбираем первое оно может содержать 1 и 4 (или 4 и 1), или 2 и 2 и третью цифру
в случае 1 и 4 имеем что первое число можно выбрать второе тогда содержит 2 и 2 , и его можно выбрать лишь размещением не 2, всего
итого
и соответственно наоборот в случае для первого с 2 и 2
теперь если третья цифра 4 (или 1) - первое число можно выбрать расставить уникальную цифру), второе расставить уникальную цифру, всего
если третья цифра 2 - первое число можно выбрать расставить в произвольном порядке три разные цифры, второе 1 - все три цифры одинаковые, всего
суммируя этот случай
(0) 5=5*1=1*5 - не подходит, учтено в случае 2
(2) 6=1*6=2*3 - две цифры заданы для каждого числа, третья одинакова, но следует учесть порядок
если цифра отличается от 1,6,2,3 третью цифру можно выбрать и задать порядок для первого числа 3*2*1=6, для второго
всего
если третья цифра или 1 или 6 или 2 или 3, получим три для одного числа и 6 для второго, всего
суммируя
(0) 7=1*7=7*1 - не подходит, учтено в случае 2
(2) 8 =1*8=2*4 - по аналогии с 6=1*6=2*4 получаем
(1) 9=1*9=3*3 - по аналогии с 4=1*4=2*2 получаем
итого
5) Числа, произведение цифр, которых равно, но одна из них не является произведением двух других (для этого цифры должны попарно иметь взаимные делители отличные от 1, претенденты либо четные различные числа вообще либо 4 и 8, либо 3 и 6, либо 6 и 9 либо 3 и 9)
2 и 4 не подходит - так как 2*4=2*2*2
2 и 6 - тогда две цифры второго 3 и 4, получаем выбрать третью общую цифру отличную от для порядка цифр первого числа для второго, остальные случаи рассмотрены раннее)
2 и 8 , 2*8=4*4 , выбрать третью цифру порядок первого 6, третьего 3, всего
4 и 8 - не подходит - нельзя переложить в произведение других цифр
точно так же 3 и 6, и 3 и 9, и 6 и 9
6) случай если вторая или третья цифра в записи 0, тогда имеем
выбрать первое число (первую ненулевую на второе или третье 0, третью цифру любую из 10 )
и выбрать второе (9 вариантов выбрать первую, 0 на вторую или третью позицию и 10 вариантов выбрать последнюю цифру, всего 180*180=32 400
итого всего возможных пар трехзначных чисел получается 3024+216+9+96+168+168+96+108+32400=36 177
А) Например, если 28 студентов написали обе контрольные и получили за них и по 2 студентов писали только первую и только вторую работу и получили за них то средний по каждой работе 28 * 15 / 30 = 14, а средний максимальный равен 28 * 15 / 32 = 13 1/8 < 14.
б) Нет. Если 28 человек писали обе работы, значит, четверо написали по одной работе и всего написано 2 * 28 + 4 = 60 работ. Поскольку средний каждой работе равен 14, то средний по всем работам тоже равен 14, и всего студенты набрали 14 * 60 = При этом сумма максимальных равна 11 * 32 = Но если сумма максимальных равна 352, то все оставшиеся оценки в сумме не могут дать больше, чем и всего не более 2 * 352 = 704.
в) Пусть обе контрольные работы написало N студентов. Повторяем рассуждение из предыдущего пункта: всего написано 2N + (32 - N) = N + 32 работ, сумма всех 14 * (N + 32), сумма максимальных 352. 2 * 352 >= 14 * (N + 32), N <= 128/7. Учитывая, что N - целое число, N <= 18.
N = 18 достигается, например, если 16 человек написали обе работы на 20, 1 человек написал первую на 19, вторую на18; 1 человек написал первую на 10, вторую на 11; 1 человек написал первую на 1, 6 человек написали первую на 0, 1 человек написал вторую на 1, 6 человек написали вторую на 0.
Первую работу писали 18 + 7 = 25 человек, сумма 16 * 20 + 19 + 10 + 1 = 350, средний 350 / 25 = 14. Вторую работу писали 25 человек, сумма 16 * 20 + 18 + 11 + 1 = 350, средний 14. Сумма максимальных 16 * 20 + 19 + 11 + 2 * 1 = 352, средний максимальный 352 / 32 = 11.
36 177
Пошаговое объяснение:
1) Числа, состоящие из цифр без 0 в записи числа, цифры первого различны, цифры второго совпадают с цифрами первого, отличаются (или нет) в порядке в котором расположены
таких пар чисел получится 9*7*8*3*2*1=3024
(9*7*8 - столькими можно построить первое число, с различными цифрами от 1 до 9, на первое место 9 претендентов, на второе 8, на третье 7, второе число из цифр первого можно составить на первое место одну из 3х цифр, на второе одну из 2, на третье 1,
пример число 431 на первое и на второе 431,413, 341,314, 134,143)
2) Числа состоящие из цифр без 0 в записи числа, две цифры первого одинаковы, цифры второго совпадают с цифрами первого, отличаются (или нет) в порядке в котором расположены
(9*8*3=216, цифру которая не повторяется выбрали цифру которая повторяется 8 или наоборот, второе число 3 варианту на которое поставить цифру которая не повторяется, остальные по умолчанию,
пример 311, второе число 311, 131, 113)
3) Числа состоящие из цифр первого без 0 в записи числа, три цифры первого одинаковы, цифры второго совпадают с цифрами первого, всего таких 9 чисел
111, 222, , 999 - первое и второе число
теперь если цифры первого не повторяют полностью первого и без 0 в записи
---
4) Числа, состоящие из цифр без 0 в записи числа. Третья цифра произведение двух других.
( три единицы дают 3 случай, не рассматриваем),
(-1) одна цифра является произведением двух других
(0) 2=1*2=2*1 - не подходит, учтено в случае 2
(0) 3=1*3=3*1 - не подходит, учтено в случае 2
(1) 4=1*4=2*2 - две цифры заданы для каждого числа, третья одинакова, но следует учесть порядок
ненулевую цифру отличную от 1,2,4 можно выбрать
сначала выбираем первое оно может содержать 1 и 4 (или 4 и 1), или 2 и 2 и третью цифру
в случае 1 и 4 имеем что первое число можно выбрать второе тогда содержит 2 и 2 , и его можно выбрать лишь размещением не 2, всего
итого
и соответственно наоборот в случае для первого с 2 и 2
теперь если третья цифра 4 (или 1) - первое число можно выбрать расставить уникальную цифру), второе расставить уникальную цифру, всего
если третья цифра 2 - первое число можно выбрать расставить в произвольном порядке три разные цифры, второе 1 - все три цифры одинаковые, всего
суммируя этот случай
(0) 5=5*1=1*5 - не подходит, учтено в случае 2
(2) 6=1*6=2*3 - две цифры заданы для каждого числа, третья одинакова, но следует учесть порядок
если цифра отличается от 1,6,2,3 третью цифру можно выбрать и задать порядок для первого числа 3*2*1=6, для второго
всего
если третья цифра или 1 или 6 или 2 или 3, получим три для одного числа и 6 для второго, всего
суммируя
(0) 7=1*7=7*1 - не подходит, учтено в случае 2
(2) 8 =1*8=2*4 - по аналогии с 6=1*6=2*4 получаем
(1) 9=1*9=3*3 - по аналогии с 4=1*4=2*2 получаем
итого
5) Числа, произведение цифр, которых равно, но одна из них не является произведением двух других (для этого цифры должны попарно иметь взаимные делители отличные от 1, претенденты либо четные различные числа вообще либо 4 и 8, либо 3 и 6, либо 6 и 9 либо 3 и 9)
2 и 4 не подходит - так как 2*4=2*2*2
2 и 6 - тогда две цифры второго 3 и 4, получаем выбрать третью общую цифру отличную от для порядка цифр первого числа для второго, остальные случаи рассмотрены раннее)
2 и 8 , 2*8=4*4 , выбрать третью цифру порядок первого 6, третьего 3, всего
4 и 8 - не подходит - нельзя переложить в произведение других цифр
точно так же 3 и 6, и 3 и 9, и 6 и 9
6) случай если вторая или третья цифра в записи 0, тогда имеем
выбрать первое число (первую ненулевую на второе или третье 0, третью цифру любую из 10 )
и выбрать второе (9 вариантов выбрать первую, 0 на вторую или третью позицию и 10 вариантов выбрать последнюю цифру, всего 180*180=32 400
итого всего возможных пар трехзначных чисел получается 3024+216+9+96+168+168+96+108+32400=36 177
б) Нет. Если 28 человек писали обе работы, значит, четверо написали по одной работе и всего написано 2 * 28 + 4 = 60 работ. Поскольку средний каждой работе равен 14, то средний по всем работам тоже равен 14, и всего студенты набрали 14 * 60 = При этом сумма максимальных равна 11 * 32 = Но если сумма максимальных равна 352, то все оставшиеся оценки в сумме не могут дать больше, чем и всего не более 2 * 352 = 704.
в) Пусть обе контрольные работы написало N студентов. Повторяем рассуждение из предыдущего пункта: всего написано 2N + (32 - N) = N + 32 работ, сумма всех 14 * (N + 32), сумма максимальных 352. 2 * 352 >= 14 * (N + 32), N <= 128/7. Учитывая, что N - целое число, N <= 18.
N = 18 достигается, например, если 16 человек написали обе работы на 20, 1 человек написал первую на 19, вторую на18; 1 человек написал первую на 10, вторую на 11; 1 человек написал первую на 1, 6 человек написали первую на 0, 1 человек написал вторую на 1, 6 человек написали вторую на 0.
Первую работу писали 18 + 7 = 25 человек, сумма 16 * 20 + 19 + 10 + 1 = 350, средний 350 / 25 = 14.
Вторую работу писали 25 человек, сумма 16 * 20 + 18 + 11 + 1 = 350, средний 14.
Сумма максимальных 16 * 20 + 19 + 11 + 2 * 1 = 352, средний максимальный 352 / 32 = 11.