Войти Регистрация Спроси ai-bota

, найти предел последовательности при n, стремящемся к бесконечности

, найти предел последовательности при n, стремящемся к бесконечности

Показать ответ

Ответ:

kutirev123p

15.02.2022 14:19

Будем пользоваться непрерывностью косинуса, тем самым обосновывая справедливость внесения знака предела под аргумент.

$n^{5/6}\pi\dfrac{\sqrt[3]{n^2-1}-\sqrt[3]{n^2} }{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} = n^{5/6}\pi\dfrac{\left((n-1)^{1/3}(n+1)^{1/3}-n^{2/3}\right)\left((n+1)^{1/2}+n^{1/2}\right)}{1}$ , это получилось умножением числителя и знаменателя на сопряженное. Раскрываем скобки: $n^{5/6}\pi\left((n-1)^{1/3}(n+1)^{5/6}-n^{2/3}(n+1)^{1/2}+n^{1/2}(n-1)^{1/3}(n+1)^{1/3}-n^{7/6}\right)$ . Вынесем $n^{7/6}$ : $n^{2}\pi\left(\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{1/3}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{5/6}-\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{1/2}+\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{1/3}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{1/3}-1\right)$ . Разложим каждую скобку по формуле Тейлора в окрестности с точностью до квадратичных членов: $n^2\pi\left(1-\dfrac{1}{3n}-\dfrac{1}{9n^2}+o(1/n^2)\right)\left(1+\dfrac{5}{6n}-\dfrac{5}{72n^2}+o(1/n^2)\right)-\\-n^2\pi\left(1+\dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{8n^2}+o(1/n^2)\right)+\\+n^2\pi\left(1-\dfrac{1}{3n}-\dfrac{1}{9n^2}+o(1/n^2)\right) \left(1+\dfrac{1}{3n}-\dfrac{1}{9n^2}+o(1/n^2)\right) - n^2\pi$

После раскрытия скобок получим $-n^2\pi\dfrac{2}{3n^2}+o(1) \Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\left [-n^2\pi\dfrac{2}{3n^2}+o(1)\right] = -\dfrac{2\pi}{3}$ . Значит, $\lim\limits_{n\to\infty }x_{n} = \cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$ .

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

оля2029

02.05.2021 09:09

сижу на контрольной, надеюсь на вас, Докажите, что четырехугольник АВСD является ромбом, если А(4; 6; 0), В(8; 9; 0), С(12; 6; 0), D(8; 3; 0)...

catkama

22.06.2021 11:21

В ателье сшили 4 жёлтых юбки. Это на 4 юбки меньше чем синих. Сколько синих юбок сшили в ателье...

lidochka4

07.04.2022 20:37

X- тын кандай мандерынде y=-0,5+4тауелды айнымаласы 1,5-10,5 мандерынытен болада...

VeshkinRuslan

30.04.2022 23:32

Фермеры собрал 260кг помидоров.В n ящиков сложили по 24кг.Сколько килограммов помидор осталось,вычислили при n=8...

dihochi

13.08.2021 20:11

1) Какой формулой задается прямаяпропорциональность?2) Что является графиком прямой -пропорциональности?3) Сколько точек достаточно взять, чтобыпостроить график прямой| пропорциональности?4)...

nikodima2005

02.06.2020 23:19

Решите уравнение 10x+4=5x-2...

Angelika200614

28.01.2020 22:43

Площадь поля 120га. Зерном засеяно 45% поля Какую площадь занимают посевы зерна?...

НекоТян124

04.07.2022 06:07

Стороны прямоугольника равны 13см и 5см.найдите площадь квадрата имеющего такой же периметр. Периметр квадрата больше его стороны на 21 см . Найдите его площадь. ...

помогите1187

27.05.2021 12:08

Контролер делает выборочную проверку изделий на качество из трех урн. В первой урне содержится 15 изделий, из них 5 бракованных, во второй урне содержится 12 изделий, из них 3...

sirushdarbinyap0aqdv

14.06.2021 19:00

Колесо у тачки имеет длину окружности 4/5 м. Тачку перевезли на расстояние 108 м. Определи, сколько оборотов при этом выполнило колесо тачки....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку