В
Все
М
Математика
А
Английский язык
Х
Химия
Э
Экономика
П
Право
И
Информатика
У
Українська мова
Қ
Қазақ тiлi
О
ОБЖ
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
У
Українська література
М
Музыка
П
Психология
А
Алгебра
Л
Литература
Б
Биология
М
МХК
О
Окружающий мир
О
Обществознание
И
История
Г
Геометрия
Ф
Французский язык
Ф
Физика
Д
Другие предметы
Р
Русский язык
Г
География
bubininaaas5
bubininaaas5
21.09.2021 19:08 •  Математика

Найти решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. y"-4y'-5y = 8 cos2x+9sin2x добавлю 20

Показать ответ
Ответ:
DdMirko
DdMirko
06.10.2020 05:38
Это дифференциальное уравнение второго порядка, линейное неоднородное со специальной правой части(относится ко второму виду)
Нужно найти: Уо.н. = Уо.о. + Уч.н.
Найдем решение однородного уравнения
y''-4y'-5y=0
Воспользуемся методом Эйлера y=e^{kx}, и перейдем к характеристическому уравнению:
k^2-4k-5=0
По т. Виета:
 k_1=5\\ k_2=-1
Тогда решение однородного уравнения имеет вид:
y_{o.o.}=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{5x}+C_2e^{-x}

Найдем теперь частное решение
Положим f(x)=8\cos2x+9\sin2x
f(x)=x^ke^{\alpha x}(P_n(x)\sin ( \beta x)+Q_n(x)\cos( \beta x))
Где Q_n(x),\,\, P_n(x) - многочлены степеней х(или полиномы)

Q_n(x)=8;\,\,\,\, P_n(x)=9;\,\,\, \alpha=0;\,\,\, \beta=2
Тогда частное решение будем искать в виде:
Уч.н. =A\cos2x+B\sin2x
Найдем первую и вторую производную
y'=(A\cos2x+B\sin2x)'=2B\cos2x-2A\sin2x\\ \\ y''=(2B\cos2x-2A\sin2x)'=-4A\cos2x-4B\sin2x
Подставим в исходное уравнение

-4A\cos2x-4B\sin2x-8B\cos2x+8A\sin2x-5A\cos2x-5B\sin2x\\ \\ =8\cos2x+9\sin2x\\ \\ -9A\cos2x-9B\sin2x-8B\cos2x+8A\sin2x=8\cos2x+9\sin2x\\ \\ \cos2x(-9A-8B)+\sin2x(8A-9B)=8\cos2x+9\sin2x
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
\displaystyle \left \{ {{8A-9B=9} \atop {-9A-8B=8}} \right. \Rightarrow \left \{ {{A=0} \atop {B=-1}} \right.

Тогда частное решение имеет вид:

Уч.н. =-\sin2x

Уо.н. = C_1e^{5x}+C_2e^{-x}-\sin2x - ответ.
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота