В
Все
М
Математика
А
Английский язык
Х
Химия
Э
Экономика
П
Право
И
Информатика
У
Українська мова
Қ
Қазақ тiлi
О
ОБЖ
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
У
Українська література
М
Музыка
П
Психология
А
Алгебра
Л
Литература
Б
Биология
М
МХК
О
Окружающий мир
О
Обществознание
И
История
Г
Геометрия
Ф
Французский язык
Ф
Физика
Д
Другие предметы
Р
Русский язык
Г
География
DVOECHNIK225
DVOECHNIK225
18.05.2023 02:50 •  Математика

Найти высоту конуса наименьшего объема,описанного около полушара радиуса r (цент основания конуса лежит в центре основания шара)

Показать ответ
Ответ:
EnemySSS
EnemySSS
06.07.2020 17:20

Дан полушар  с радиусом  R = OC    и   описанный около  него конус  с радиусом  основания  r = OA   и высотой  h = OM.

Построим сечение конуса по диаметру основания :  ΔAMB

OM - высота конуса   ⇒   ΔAMO - прямоугольный. Пусть ∠OMK=α

OK⊥AM  -  как радиус шара в точку касания с конусом  ⇒  ΔOKM - прямоугольный.  По отношению сторон прямоугольного треугольника : h = OM = \dfrac{OK}{\sin \angle OMK}=\dfrac R{\sin\alpha }

По отношению сторон прямоугольного треугольника ΔAMO:

r = OA = OM\cdot tg \angle OMK=\dfrac R{\sin\alpha }\cdot \dfrac {\sin\alpha}{\cos\alpha }=\dfrac R{\cos\alpha}

Тогда объём конуса по формуле

V = \dfrac 13\cdot \pi r^2h=\dfrac { \pi}3 \cdot \dfrac{R^2}{\cos^2\alpha}\cdot \dfrac{R}{\sin\alpha}=\dfrac{\pi R^3}{3\cos^2\alpha~\sin\alpha}\\ \\ \\ V=\dfrac{\pi R^3}{3(1-\sin^2\alpha)\sin\alpha}=\dfrac{\pi R^3}{3(\sin\alpha-\sin^3\alpha)}

Объём конуса, выраженный дробью, будет наименьшим, когда знаменатель будет наибольшим.

Наибольшее значение функции в знаменателе можно найти через производную.

f (α) = sin α - sin³ α    

f'(α) = (sin α - sin³ α)' = 0

cos α - 3 sin² α cos α = 0

cos α (1 - 3 sin²α) = 0

1) cos α = 0    ⇒    α = 90°  -  не подходит по условию  (угол при вершине сечения не может быть равен  180°).

1 - 3 sin²α = 0    ⇒    \sin^2\alpha =\dfrac 13    ⇒

\sin\alpha =\dfrac 1{\sqrt 3}  - только положительное значение корня, так как отрицательным угол при вершине конуса быть не может.

Высота конуса  h = \dfrac R{\sin\alpha }=R:\dfrac 1{\sqrt3}=\sqrt3R

ответ:  \boldsymbol{h = \sqrt3R}

=======================================

f(\alpha) = \sin \alpha - \sin^3\alpha =\dfrac 1{\sqrt3}-\dfrac 1{3\sqrt3}=\dfrac 2{3\sqrt3}

Наименьший объём описанного конуса с высотой  h=√3 R

V =\dfrac{\pi R^3}{3(\sin\alpha-\sin^3\alpha)}=\dfrac{\pi R^3}{3\Big(\dfrac2{3\sqrt3}\Big)}=\dfrac{\sqrt3}2\cdot \pi R^3


Найти высоту конуса наименьшего объема,описанного около полушара радиуса r (цент основания конуса ле
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота