Докажем по индукции, что если 1, 2, 3, ..., n можно получить, то и n + 1 можно получить. База. 1, 2, 3, 4, 5 и 9 можно получить (4 -> 2 -> 1; 2 -> 24 -> 12 -> 6 -> 3; 1 -> 10 -> 5; 1 -> 14 -> 144 -> 72 -> 36 -> 18 -> 9). Переход.
Покажем сначала, что можно из чисел, меньших нужного, получить любое число, кроме (быть может) оканчивающегося на 9: x -> 10 x -> 5 x 2 x -> 20 x + 4 -> 10 x + 2 -> 5 x + 1 x -> 10 x + 4 -> 5 x + 2 4 x + 2 -> 40 x + 24 -> 20 x + 12 -> 10 x + 6 -> 5 x + 3 x -> 10 x + 4
Рассмотрим случай, когда нужно получить ...9. 10 x + 9 <- 20 x + 18 <- 40 x + 36 <- 80 x + 72 <- 160 x + 144 <- 16 x + 14 16 x + 14 - четное число, поэтому не оканчивается на 3 или 9. Если оно не оканчивается на 6, то его можно получить из числа, которое меньше данного не менее чем в 2,5 раза. Но (16 x + 14)/2.5 = 6.4 x + 5.6 < 10 x + 9.
Несложно проверить, что 16 x + 14 оканчивается на 6, если x дает остаток 2 при делении на 5. Пусть x = 5 k + 2, тогда 16 * (5 k + 2) + 14 = 80 k + 46 <- 160 x + 92 <- 320 x + 184 <- 32 x + 18 < 80k + 46, что и требовалось.
Может кондоватый но ладно. Это число делится на 10 тк делится на 2 и 5 То тк при вычеркивании последней цифры должен остатся ноль то предпоследняя цифра этого числа 0. Если же мы будем вычеркивать предпоследнюю цифру и выше тоже 0. То последние 2 цифры нули. Число делится на 3 только когда когда сумма цифр делится на 3 Если в этом числе зачеркунуть его последнюю цифру 0 То сумма цифр не изменится. А значит и сумма цифр данного числа делится на 3. При вычитании остальных цифр выходит что все цифры должны делится на 3 тк если хоть 1 не делится на 3 ,то при вычетании этой цифры сумма на 3 делится уже не будет. А вот теперь самое трудное. По признаку делимости на 7 оно делится на 7 когда сумма числа десятков с утроенным числом единиц делится на 7. Тк зачеркивая 1 цифру 0 ее возможная делимость на 7 не изменится. ТО и исходное число делится на 7. То у этого числа последняя 0 а утроенное число десятков 3x Вычеркнем из этого числа 3 цифру кроме то число десятков останется 0. По условию цифры только 3 6 9 0(Уберем 2 последние нуля на делимость на 7 они не влияют) то число десятков уменьшится на 0 3 6 9 и уменьшится в 10 раз то число десятков при цифрах 3 6 9 0 Уменьшится на число не кратное 7 ,но тогда исхожное число на 7 делится не будет. То последняя цифра 0. Далее снова убераем лишний ноль и продолжая теже рассуждения выйдет что все цифры должны быть нули. То есть 000000000 Что невозможно. ответ :нет
База. 1, 2, 3, 4, 5 и 9 можно получить (4 -> 2 -> 1; 2 -> 24 -> 12 -> 6 -> 3; 1 -> 10 -> 5; 1 -> 14 -> 144 -> 72 -> 36 -> 18 -> 9).
Переход.
Покажем сначала, что можно из чисел, меньших нужного, получить любое число, кроме (быть может) оканчивающегося на 9:
x -> 10 x -> 5 x
2 x -> 20 x + 4 -> 10 x + 2 -> 5 x + 1
x -> 10 x + 4 -> 5 x + 2
4 x + 2 -> 40 x + 24 -> 20 x + 12 -> 10 x + 6 -> 5 x + 3
x -> 10 x + 4
Рассмотрим случай, когда нужно получить ...9.
10 x + 9 <- 20 x + 18 <- 40 x + 36 <- 80 x + 72 <- 160 x + 144 <- 16 x + 14
16 x + 14 - четное число, поэтому не оканчивается на 3 или 9. Если оно не оканчивается на 6, то его можно получить из числа, которое меньше данного не менее чем в 2,5 раза. Но (16 x + 14)/2.5 = 6.4 x + 5.6 < 10 x + 9.
Несложно проверить, что 16 x + 14 оканчивается на 6, если x дает остаток 2 при делении на 5. Пусть x = 5 k + 2, тогда
16 * (5 k + 2) + 14 = 80 k + 46 <- 160 x + 92 <- 320 x + 184 <- 32 x + 18 < 80k + 46, что и требовалось.
ответ. а) да; б) любые.
Это число делится на 10 тк делится на 2 и 5
То тк при вычеркивании последней цифры
должен остатся ноль то предпоследняя цифра этого числа 0.
Если же мы будем вычеркивать предпоследнюю цифру и выше тоже 0. То последние 2 цифры нули.
Число делится на 3 только когда когда сумма цифр делится на 3
Если в этом числе зачеркунуть его последнюю цифру 0
То сумма цифр не изменится. А значит и сумма цифр данного числа делится на 3. При вычитании остальных цифр выходит что все цифры должны делится на 3 тк если хоть 1 не делится на 3 ,то при вычетании этой цифры сумма на 3 делится уже не будет.
А вот теперь самое трудное. По признаку делимости на 7 оно делится на 7 когда сумма числа десятков с утроенным числом единиц делится на 7.
Тк зачеркивая 1 цифру 0 ее возможная делимость на 7 не изменится. ТО и исходное число делится на 7.
То у этого числа последняя 0 а утроенное число десятков 3x
Вычеркнем из этого числа 3 цифру кроме то число десятков останется 0. По условию цифры только 3 6 9 0(Уберем 2 последние нуля на делимость на 7 они не влияют) то число десятков уменьшится на 0 3 6 9 и уменьшится в 10 раз то число десятков при цифрах 3 6 9 0 Уменьшится на число не кратное 7 ,но тогда исхожное число на 7 делится не будет. То последняя цифра 0.
Далее снова убераем лишний ноль и продолжая теже рассуждения выйдет что все цифры должны быть нули. То есть 000000000
Что невозможно.
ответ :нет