ДАНО: Y(x) = -x⁴ +2*x² + 1.
ИССЛЕДОВАНИЕ:
Описание ГЛАЗАМИ: Функция четвертого порядка с отрицательным коэффициентом - примерно парабола и ветви вниз. Должно быть четыре корня.
1. Область определения. Непрерывная. Разрывов нет.
D(x) = R = (-∞;+∞)
2. Корни функции: х₁ = - 1,55 и х₃ = 1,55.
Двух других нет. Нахождение самих корней - без комментариев.
3. Интервалы знакопостоянства (дополнительно к таблице).
Отрицательна: Y<0 X∈(-∞;-1.5)∪(1.55;+∞) - вне корней.
Положительна: Y>0 X∈(-1.55; 1.55) - между корнями.
4. Поиск экстремумов по первой производная функции .
Y'(x) = -4*х³ + 4*ч = 4*x*(1-x²) = 0
Точки экстремумов: x₅ = - 1, x₆ = 0, x₇ = 1
5 Локальные экстремумы:
Ymin(0) = 1 , Ymax(-1) = У(1) = 2
6. Интервалы монотонности.
Возрастает: Х∈(-∞;-1)∪(0;1) убывает: Х∈(-1;0)∪(1;+∞)
7, Поиск точек перегиба по второй производной
Y"(x) = -12*x² +4 = 0
x₈ = - √3/3 и х₉ = √3/3 - точки перегиба.
8. Выпуклая - "горка" - Х∈(-∞;-√3/3)∪(√3/3;+∞) .
Вогнутая - "ложка" - Х∈(-√3/3);(√3/3)
График на рисунке в приложении.
ДАНО: Y(x) = -x⁴ +2*x² + 1.
ИССЛЕДОВАНИЕ:
Описание ГЛАЗАМИ: Функция четвертого порядка с отрицательным коэффициентом - примерно парабола и ветви вниз. Должно быть четыре корня.
1. Область определения. Непрерывная. Разрывов нет.
D(x) = R = (-∞;+∞)
2. Корни функции: х₁ = - 1,55 и х₃ = 1,55.
Двух других нет. Нахождение самих корней - без комментариев.
3. Интервалы знакопостоянства (дополнительно к таблице).
Отрицательна: Y<0 X∈(-∞;-1.5)∪(1.55;+∞) - вне корней.
Положительна: Y>0 X∈(-1.55; 1.55) - между корнями.
4. Поиск экстремумов по первой производная функции .
Y'(x) = -4*х³ + 4*ч = 4*x*(1-x²) = 0
Точки экстремумов: x₅ = - 1, x₆ = 0, x₇ = 1
5 Локальные экстремумы:
Ymin(0) = 1 , Ymax(-1) = У(1) = 2
6. Интервалы монотонности.
Возрастает: Х∈(-∞;-1)∪(0;1) убывает: Х∈(-1;0)∪(1;+∞)
7, Поиск точек перегиба по второй производной
Y"(x) = -12*x² +4 = 0
x₈ = - √3/3 и х₉ = √3/3 - точки перегиба.
8. Выпуклая - "горка" - Х∈(-∞;-√3/3)∪(√3/3;+∞) .
Вогнутая - "ложка" - Х∈(-√3/3);(√3/3)
График на рисунке в приложении.