Определить глубину колодца, если за его рытье уплачено 238 тыс. рублей, причем за каждый метр глубины платили на 2 тыс. рублей больше, чем за предыдущий, а за работу на последнем метре заплатили 30 тыс. рублей. надо решить через арифметическую прогрессию
a(n) =30000
d=2000
S(n) = 238000
a(1) -?
n - ?
Решение:
Составим систему уравнений с двумя неизвестными n и a(1) (a(1)для удобства заменим на просто а), получаем:
{a(n) = a(1) +(n-1)d
{S(n) = (2a(1) + (n-1)d) * n / 2
{30000 = a + (n-1)2000
{238000 = (2a+(n-1)2000)*n/2
{30000 = a+2000n - 2000
{238000 = (a+(n-1)1000)*n
{32000 = a+2000n
{238000 = an+1000n²-1000n
{a = 32000-2000n
{238000 = (32000-2000n)n+1000n²-1000n
решаем нижнее уравнение системы:
238000 = 32000n-2000n²+1000n²-1000n
238000 = 31000n - 1000 n² | : 1000
238 = 31n-n²
n²-31n+238 = 0
D=31²-4*238 = 961 - 952 = 9 = 3²
n(1) = (31+3) / 2 = 17
n(2) = (31-3)/2 = 14
возвращаемся к системе и находим а, получаем:
а(2) = 32000 - 2000*14 = 32000-28000 = 4000
а(1) = 32000 - 2000 *17= 32000 - 34000 = -2000 <0 не подходит под ОДЗ ( сумма оплаты должна быть положительная)
Получаем а = а(1) прогрессии = 4000
n = 14 => 14 -тый метр был последним
ответ: глубина колодца 14 м
S = 238000
d = 2000
a = ? (первый член)
S = (a + (n-1)d + a)/2 * n, отсюда 238000 = (2a + (n-1)*2000) / 2 * n = n*(a + (n-1)*1000).
Выразим последний член: a + (n-1)*2000 = 30000.
Имеем систему уравнений:
238000 = n*(a + (n-1)*1000)
a + (n-1)*2000 = 30000
Решим ее:
a = 30000 - (n-1)*2000
238000 = n*(30000 - (n-1)*2000 + (n-1)*1000)
238000 = 30000n - (n-1)*n*2000 + (n-1)*n*1000
238 = 30n - (n-1)*n*2 + (n-1)*n
238 = 30n - 2n*n + 2n + n*n -n
Имеем квадратное уравнение:
238 = 31n - n*n
n*n - 31n + 238 = 0
D = 9
Решим его:
n1,2 = (31+-3)/2
n1 = 17
n2 = 14
Найдем, сколько заплатили за первый метр (найдем первый член прогрессии):
a = 30000 - 13*2000 = 4000
a = 30000 - 16*2000 < 0
ответ: за первый метр заплатили 4000 рублей, глубина колодца 14 метров.