Основанием пирамиды sabc является равносторонний треугольник abc, длина стороны которого равна 4 2 . боковое ребро sc перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2. а) докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку s и середину ребра bc, а другая проходит через точку с и середину ребра ab равен 45 градусов. б) найдите расстояние между этими скрещивающимися прямыми. подробное решение с чертежом, с:
Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2.
Середина ребра BC - точка Д, середина ребра AB - точка Е.
Расположим пирамиду в прямоугольной системе координат вершиной А в начало и ребром АС по оси Оу.
Определяем координаты исходных точек.
S(0; 4√2; 2), Д(√6; 3√2; 0).
С(0; 4√2; 0), Е(√6; √2; 0).
Вектор SД: ( √6; -√2; -2), |SД| = √(6+2+4) = √12= 2√3.
Вектор СЕ: (√6; -3√2; 0). |CE| = √(6+18+0) = √24 = 2√6.
cos∠(SД;CE) = (SД*CE)/(|SД|*|CE|) = (6+6-0)/(2√3*2√6) = 12/(4*3√2) = 1/√2).
Угол (SД;CE) = arc cos (1/√2) = 45 градусов.
б) Расстояние между скрещивающимися прямыми SД и CE.
Так как прямая SД лежит в плоскости, перпендикулярной основанию, в котором лежит прямая СЕ, то искомое расстояние равно длине перпендикуляра из точки Д на прямую СЕ.
Рассмотрим треугольник СДЕ.
СД = ДЕ = (4√2)/2 = 2√2.
СЕ = √((3√2)² + (√6)²) = √(18+6) = √24 = 2√6.
По формуле Герона находим площадь СДЕ:
a b c p 2p S
2,828427 4,89898 2,8281 5,277917 10,555834 3,464102.
Высота из точки Д (это искомое расстояние SД;CE) равна
ДН = 2S/СЕ = √2 ≈1,414214.