1) В книге 200 страниц. Ученик прочитал 10% всей книги. Сколько страниц прочитал ученик?
В книге 200 страниц.
Ученик прочитал 10% всей книги.
Сколько страниц прочитал ученик?
Примем книгу где 200 страниц за 100%.
Найдем сначала 1% от 200 страниц. Для этого нужно 200 разделить на 100. Имеем 200 : 100 = 2 страницы. Полученный результат нужно умножить на количество процентов. Имеем 2 * 10 = 20 страниц.
ответ: ученик прочитал 20 страниц.
2) В школе 500 учащихся. Ученики пятого класса составляют 12 % всех учащихся. Сколько учеников пятых классов в школе?
В школе 500 учащихся.
Ученики пятого класса составляют 12 % всех учащихся.
Сколько учеников пятых классов в школе?
Примем 500 учащихся в школе за 100%.
Найдем сначала 1% от 500 учащихся. Для этого нужно 500 разделить на 100. Имеем 500 : 100 = 5 учеников. Полученный результат нужно умножить на количество процентов. Имеем 5 * 12 = 60 учеников пятых классов в школе.
ответ: в школе 60 учеников пятых классов.
3) Площадь, равная 10а, занята капустой, что составляет 50% всего поля. Чему равна площадь всего поля?
Площадь поля 10 а.
Поле засеяно капустой, что составляет 50% всего поля.
Чему равна площадь всего поля?
Примет всю площадь поля за 100%.
Найдем количество ар поля, приходящаяся на 1%. Для этого надо 10 разделить на 50. Имеем, 10: 50 = 0,2 а. Чтобы узнать, площадь поля, надо умножить 0,2 на 100 (поскольку все поле составляет 100%). Итак, 0,2 * 100 = 20 а.
ответ: площадь поля равна 20 а.
4) В классе 21 мальчик, что составляет 70% учащихся класса. Сколько учащихся в этом классе?
В классе 21 мальчиков.
Это составляет 70% учащихся класса.
Сколько учащихся в этом классе?
Примет всех учащихся в этом классе за 100%.
Найдем количество учащихся, приходящаяся на 1%. Для этого надо 21 разделить на 70. Имеем, 21: 70 = 0,3. Чтобы узнать, сколько учащихся в этом классе, надо умножить 0,3 на 100 (поскольку весь класс составляет 100%). Итак, 0,3 * 100 = 30 учащихся.
ответ: всего учащихся в этом классе составляет 30 человек.
5) В книге 60 страниц. Наташа уже прочитала 17 страниц. Какую часть книги прочитала Наташа.
В книге 60 страниц.
Наташа уже прочитала 17 страниц.
Какую часть книги прочитала Наташа?
Для того, чтобы определить часть от целого значения, необходимо известное число разделить на общую часть.
Если книга из 60 страниц, это целое, то часть книги, которую прочитала Наташа составит: 17 : 60 = 17/60 часть всей книги.
ответ: Наташа прочитала 17/60 часть всей книги
6) В мае 31 день. Из них 6 дней были выходными. Какая часть выходных дней в мая.
В мае 31 день.
Из них 6 дней были выходными.
Какая часть выходных дней в мая?
Для того, чтобы определить часть от целого значения, необходимо известное число разделить на общую часть.
Если в месяце 31 день, это целое, то часть выходных в мае от общего числа дней составит: 6 : 31 = 6/31 от общего числа дней в мае.
ответ: 6/31 часть выходных дней мая.
7) В пятом классе 25 учеников, 17 из них учатся без троек. Какая часть класса учится без троек?
В пятом классе 25 учеников.
17 из них учатся без троек.
Какая часть класса учится без троек?
Для того, чтобы определить часть от целого значения, необходимо известное число разделить на общую часть.
Если в классе 25 учеников, это целое, то часть учеников, которые учатся без троек составит: 17 : 25 = 17/25 часть учеников которые учатся без троек.
ответ: 17/25 часть учеников в классе учатся без троек.
Процесс нахождения производной f(x) функции F(x) называется дифференцированием. Обратная задача — отыскание самой функции F(x) по ее производной f(x) — называется интегрированием.
Определение I. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F'(x) = f(x).
Примеры:
1. Функция F(x) = - cos x является первообразной для функции f(x) = sin x при всех действительных значениях х, так как в любой точке х числовой прямой (- cos х)' = sin x.
2. Функция F(x) = х3 является первообразной для функции f(x) = Зх2 при всех действительных значениях х, так как в любой точке числовой прямой (х3) '= Зх2.
3. Функция F(x) =  является первообразной для функции f(x) = на интервале (-1; 1), так как в любой точке этого интервала

Задача отыскания по данной функции f(x) ее первообразной F(x) решается неоднозначно. Действительно, если F(x) —первообразная для f(х), т.е. F'(x) =f(x), то функция F(x)+C , где С— произвольная постоянная, также является первообразной для f(x), так как (F (х)+С)' = f(x) для любого числа С.
Например, для f(x) = cos x первообразной является не только sin x, но и функция sin х + С, так как (sin х + С)' = cos x.
Теорема 1. Если F (х) — какая-либо первообразная для функции f(x) на некотором промежутке X, то любая другая первообразная для f(х) на этом же промежутке может быть представлена в виде F(x)+C, где С — произвольная постоянная.
Из теоремы следует, что множество функций F(x) + С, где F(x) — одна из первообразных для функции f(x), а С—произвольная постоянная, исчерпывает все семейство первообразных функций для f(х).
Определение 2. Множество всех первообразных функции f(x) называется ее неопределенным интегралом и обозначается символом .
При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, а переменная х— переменной интегрирования. Процесс восстановления функции по ее производной, или, что то же самое, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием. Так как интегрирование—операция, обратная дифференцированию, то для проверки правильности интегрирования достаточно продифференцировать результат интегрирования и получить при этом подынтегральную функцию.
Свойства неопределенного интеграла
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

Действительно,

(F(x)+C)' = F'(x) = f(x).
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

Действительно,

3. Интеграл от дифференциала функции равен (с точностью до произвольной постоянной) самой функции, т.е.

Действительно,

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

Действительно, если F(x) — первообразная для функции f(x), т.е. F'(x) = f(x), то kF(x) —первообразная для функции kf(x). Из определения 2 следует, что
 где .
5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, т.е.

Действительно, пусть F(x) и G(x) — первообразные для функций f(x) и g(x): F'(x) = f(x) и G'(x) = g(x). Тогда функция F(x) ± G(x) является первообразной для функции f(х) ± g(x) и, следовательно,


Очевидно, это свойство справедливо для любого конечного числа интегрируемых функций.
6. Если независимую переменную интегрирования х заменить некоторой дифференцируемой функцией и(х), то формула интегрирования не изменится. То есть, если справедливо равенство
Пошаговое объяснение:
1) В книге 200 страниц. Ученик прочитал 10% всей книги. Сколько страниц прочитал ученик?
В книге 200 страниц.
Ученик прочитал 10% всей книги.
Сколько страниц прочитал ученик?
Примем книгу где 200 страниц за 100%.
Найдем сначала 1% от 200 страниц. Для этого нужно 200 разделить на 100. Имеем 200 : 100 = 2 страницы. Полученный результат нужно умножить на количество процентов. Имеем 2 * 10 = 20 страниц.
ответ: ученик прочитал 20 страниц.
2) В школе 500 учащихся. Ученики пятого класса составляют 12 % всех учащихся. Сколько учеников пятых классов в школе?
В школе 500 учащихся.
Ученики пятого класса составляют 12 % всех учащихся.
Сколько учеников пятых классов в школе?
Примем 500 учащихся в школе за 100%.
Найдем сначала 1% от 500 учащихся. Для этого нужно 500 разделить на 100. Имеем 500 : 100 = 5 учеников. Полученный результат нужно умножить на количество процентов. Имеем 5 * 12 = 60 учеников пятых классов в школе.
ответ: в школе 60 учеников пятых классов.
3) Площадь, равная 10а, занята капустой, что составляет 50% всего поля. Чему равна площадь всего поля?
Площадь поля 10 а.
Поле засеяно капустой, что составляет 50% всего поля.
Чему равна площадь всего поля?
Примет всю площадь поля за 100%.
Найдем количество ар поля, приходящаяся на 1%. Для этого надо 10 разделить на 50. Имеем, 10: 50 = 0,2 а. Чтобы узнать, площадь поля, надо умножить 0,2 на 100 (поскольку все поле составляет 100%). Итак, 0,2 * 100 = 20 а.
ответ: площадь поля равна 20 а.
4) В классе 21 мальчик, что составляет 70% учащихся класса. Сколько учащихся в этом классе?
В классе 21 мальчиков.
Это составляет 70% учащихся класса.
Сколько учащихся в этом классе?
Примет всех учащихся в этом классе за 100%.
Найдем количество учащихся, приходящаяся на 1%. Для этого надо 21 разделить на 70. Имеем, 21: 70 = 0,3. Чтобы узнать, сколько учащихся в этом классе, надо умножить 0,3 на 100 (поскольку весь класс составляет 100%). Итак, 0,3 * 100 = 30 учащихся.
ответ: всего учащихся в этом классе составляет 30 человек.
5) В книге 60 страниц. Наташа уже прочитала 17 страниц. Какую часть книги прочитала Наташа.
В книге 60 страниц.
Наташа уже прочитала 17 страниц.
Какую часть книги прочитала Наташа?
Для того, чтобы определить часть от целого значения, необходимо известное число разделить на общую часть.
Если книга из 60 страниц, это целое, то часть книги, которую прочитала Наташа составит: 17 : 60 = 17/60 часть всей книги.
ответ: Наташа прочитала 17/60 часть всей книги
6) В мае 31 день. Из них 6 дней были выходными. Какая часть выходных дней в мая.
В мае 31 день.
Из них 6 дней были выходными.
Какая часть выходных дней в мая?
Для того, чтобы определить часть от целого значения, необходимо известное число разделить на общую часть.
Если в месяце 31 день, это целое, то часть выходных в мае от общего числа дней составит: 6 : 31 = 6/31 от общего числа дней в мае.
ответ: 6/31 часть выходных дней мая.
7) В пятом классе 25 учеников, 17 из них учатся без троек. Какая часть класса учится без троек?
В пятом классе 25 учеников.
17 из них учатся без троек.
Какая часть класса учится без троек?
Для того, чтобы определить часть от целого значения, необходимо известное число разделить на общую часть.
Если в классе 25 учеников, это целое, то часть учеников, которые учатся без троек составит: 17 : 25 = 17/25 часть учеников которые учатся без троек.
ответ: 17/25 часть учеников в классе учатся без троек.
Процесс нахождения производной f(x) функции F(x) называется дифференцированием. Обратная задача — отыскание самой функции F(x) по ее производной f(x) — называется интегрированием.
Определение I. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F'(x) = f(x).
Примеры:
1. Функция F(x) = - cos x является первообразной для функции f(x) = sin x при всех действительных значениях х, так как в любой точке х числовой прямой (- cos х)' = sin x.
2. Функция F(x) = х3 является первообразной для функции f(x) = Зх2 при всех действительных значениях х, так как в любой точке числовой прямой (х3) '= Зх2.
3. Функция F(x) =  является первообразной для функции f(x) = на интервале (-1; 1), так как в любой точке этого интервала

Задача отыскания по данной функции f(x) ее первообразной F(x) решается неоднозначно. Действительно, если F(x) —первообразная для f(х), т.е. F'(x) =f(x), то функция F(x)+C , где С— произвольная постоянная, также является первообразной для f(x), так как (F (х)+С)' = f(x) для любого числа С.
Например, для f(x) = cos x первообразной является не только sin x, но и функция sin х + С, так как (sin х + С)' = cos x.
Теорема 1. Если F (х) — какая-либо первообразная для функции f(x) на некотором промежутке X, то любая другая первообразная для f(х) на этом же промежутке может быть представлена в виде F(x)+C, где С — произвольная постоянная.
Из теоремы следует, что множество функций F(x) + С, где F(x) — одна из первообразных для функции f(x), а С—произвольная постоянная, исчерпывает все семейство первообразных функций для f(х).
Определение 2. Множество всех первообразных функции f(x) называется ее неопределенным интегралом и обозначается символом .
При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, а переменная х— переменной интегрирования. Процесс восстановления функции по ее производной, или, что то же самое, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием. Так как интегрирование—операция, обратная дифференцированию, то для проверки правильности интегрирования достаточно продифференцировать результат интегрирования и получить при этом подынтегральную функцию.
Свойства неопределенного интеграла
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

Действительно,

(F(x)+C)' = F'(x) = f(x).
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

Действительно,

3. Интеграл от дифференциала функции равен (с точностью до произвольной постоянной) самой функции, т.е.

Действительно,

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

Действительно, если F(x) — первообразная для функции f(x), т.е. F'(x) = f(x), то kF(x) —первообразная для функции kf(x). Из определения 2 следует, что
 где .
5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, т.е.

Действительно, пусть F(x) и G(x) — первообразные для функций f(x) и g(x): F'(x) = f(x) и G'(x) = g(x). Тогда функция F(x) ± G(x) является первообразной для функции f(х) ± g(x) и, следовательно,


Очевидно, это свойство справедливо для любого конечного числа интегрируемых функций.
6. Если независимую переменную интегрирования х заменить некоторой дифференцируемой функцией и(х), то формула интегрирования не изменится. То есть, если справедливо равенство
,
то справедливо и равенство
.