Под каждой фигурой в тетради запиши долю которую составляет закрашенная часть фигуры от всей фигуры 1 прямоугольник 2 круг 3 треугольник 4 шестиугольник

Со знаменателем 5

8 = 8/1 = (8·5)/(1·5) = 40/5

13 = 13/1 = (13·5)/(1·5) = 65/5

4 = 4/1 = (4·5)/(1·5) = 20/5

20 = 20/1 = (20·5)/(1·5) = 100/5

3 = 3/1 = (3·5)/(1·5) = 15/5

12 = 12/1 = (12·5)/(1·5) = 60/5

14 = 14/1 = (14·5)/(1·5) = 70/5

2 = 2/1 = (2·5)/(1·5) = 10/5

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Со знаменателем 10                        Со знаменателем 25

8 = 80/10                                             8 = 200/25

13 = 130/10                                           13 = 325/25

4 = 40/10                                              4 = 100/25

20 = 200/10                                         20 = 500/25

3 = 30/10                                              3 = 75/25

12 = 120/10                                           12 = 300/25

14 = 140/10                                           14 = 350/25

2 = 20/10                                              2 = 50/25

Одним из наиболее мощных методов интегрирования является замена переменной в интеграле. Поясним суть этого метода. Пусть F'(x)=f(x), тогда

\int f(x)\,dx= \int F'(x)\,dx= \int d\bigl(F(x)\bigr)=F(x)+C.

Но в силу инвариантности формы дифференциала равенство d\bigl(F(x)\bigr)=F'(x)\,dx= f(x)\,dx остается справедливым и в случае, когда {x} — промежуточный аргумент, т.е. x=\varphi(t). Это значит, что формула \textstyle{\int f(x)\,dx=F(x)+C} верна и при x=\varphi(t). Таким образом,

\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,d\bigl(\varphi(t)\bigr)= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C, или \int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C.

Итак, если F(t) является первообразной для f(x) на промежутке {X}, а x=\varphi(t) — дифференцируемая на промежутке {T} функция, значения которой принадлежат {X}, то F\bigl(\varphi(t)\bigr) — первообразная для f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t),~t\in T, и, следовательно,

\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= \int f(x)\,dx\,.

Эта формула позволяет свести вычисление интеграла \textstyle{\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt} к вычислению интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx}. При этом мы подставляем вместо \varphi(t) переменную {x}, а вместо \varphi'(t)\,dt дифференциал этой переменной, т. е. dx. Поэтому полученная формула называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Она используется на практике как "слева направо", так и "справа налево". Метод замены переменной позволяет сводить многие интегралы к табличным. После вычисления интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx} надо снова заменить {x} на \varphi(t).

Пример 1. Вычислим \int\cos2t\,dt.

Решение. Введем новую переменную {x}, положив 2t=x. Тогда 2\,dt=dx,~dt=\frac{1}{2}\,dx и, следовательно,

\int\cos2t\,dt= \int\cos{x}\,\frac{1}{2}\,dx= \frac{1}{2}\int\cos{x}\,dx= \frac{1}{2}\sin{x}+C= \frac{1}{2}\sin2t+C.

Замечание. Вычисление короче записывают так:

\int\cos2t\,dt= \frac{1}{2}\int\cos2t\,d(2t)= \frac{1}{2}\sin2t+C.

Пошаговое объяснение: