Пoмoгите с дискретной математикой Решите сравнение 51х≡6(mod 21)

Показать ответ

Ответ:

emilylund829

13.07.2021 12:44

Решение делим на две части:
I. доказываем монотонный прирост и ограниченность
II. находим предел последовательности

Часть I:
монотонность доказываем по индукции:
Проверка: $x_2=\sqrt{3\frac{3}{2}-2}=\sqrt{\frac{5}{2}}\ \textgreater \ \frac{3}{2}=x_1\ \Rightarrow x_2\ \textgreater \ x_1$
Предполагаем справедливость неравенства для любого $k\ \textless \ n+1$
Доказываем для $x_{n+1}$ :
$x_{n+1}=\sqrt{3x_n-2}\ \textgreater \ \sqrt{3x_{n-1}-2}=x_n\ \Rightarrow x_{n+1}\ \textgreater \ x_n$
Монотонный прирост доказан.

Ограниченность сверху:
$x_n\ \textless \ 2\ \Rightarrow 3x_n\ \textless \ 6\ \Rightarrow3x_n-2\ \textless \ 4\ \Rightarrow\sqrt{3x_n-2}\ \textless \ 2\ \Rightarrow x_{n+1}\ \textless \ 2$

Условие выполняется для x_1

, по индукции получаем справедливость для любого x_n

.
( $x_{n+1}:=\sqrt{...}\ \Rightarrow x_{n+1}\geq 0$ , потому можно извлечь корень)
(*) Последовательность монотонна и ограниченна, следовательно сходится к супремуму.

Часть II.
Определим $l:=\sup\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ . Из (*) следует:
$\lim_{n\to\infty}x_n=l$ , но для больших $n\in\mathbb{N}$ выполняется $|x_{n+1}-x_n|\ \textless \ \epsilon$ (Коши), следовательно $\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=l$
Подставялем в рекурсию и получаем:
$\sqrt{3l-2}=l\ \Rightarrow l^2-3l+2=0\ \Rightarrow l_{1,2}\in\{1,2\}$
Из монотонности и $x_1=\frac{3}{2}$ следует $l\neq 1$ .
Получаем: l=2

$\lim_{n\to\infty}x_n=2$

(**) Как я "угадал" верхний предел для доказательства ограниченности в первой части?
- Сначала решил часть II, и выбрал подходящее значение.
Важно помнить: без части I, часть II не имеет сысла!! Потому доказательство нужно предоставлять именно в таком порядке и в полном объёме.

0,0(0 оценок)

Ответ:

DanilTasher

25.04.2020 02:29

... Я был в его группе Pascaly, которые дают представления в Черновцах. Еминеску, суфлер, с некоторыми пешеходных ботинках разбитых в горе им кое-какую одежду. И он заметил, Pascaly директор. -Я Замечание? -Нет. Я спросил, если он не имеет ничего лучше. Я ответил, что поэт имеет. -Ну, Купить ваши ... - Чтобы купить мне ... Но я пятаков. -Poftim Пятьдесят леев ... Позволь мне жить сегодня с обувью и одеждой! Вы понимаете? -Я Поймите, ответил Эминеску, которые берут деньги и покинуть город. Когда он вернулся вечером, я беру короткий Pascaly: Вы купили одежду и ботинки, сэр? Да! -Где? -Look Их. И дал полное собрание сочинений Гете и Гейне. Посмотрите, сапоги и одежда ... Дополнен 4 года назад

Это была красота! Классический рисунок, обрамленный какой-нибудь большой волосатая, черная. Высокий лоб и безмятежный, некоторые крупные глаза ...- окна души; ... Нежный улыбка и глубокую меланхолию. Он имел вид молодого святого, происходил из древней иконой, ребенок предопределил боли, которые видят надпись на лице будущей мучений. -Я Рекомендуют Михая Эминеску! Так что я знал, я ...

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика