Первое число после 32823, которое отвечает условию задачи, - 32923, однако, известно, что автомобиль двигался 3 часа целое число километров и его скорость также выражалась целым числом. То есть количество пройденных километров должно быть кратно 3.
Так как число 32823 кратно 3, и количество пройденных километров должно быть кратно 3, то конечное число на спидометре также кратно 3, причем в числе 32823 увеличение разряда сотен, хотя бы на 2 (так как 1 не подходит по условию), приведет к увеличению разряда тысяч, и конечное число будет иметь вид: 33а33, где а может принимать значения 0; 3: 6; 9.
Ближайшее такое число - 33033. Тогда количество пройденных километров за 3 часа:
Докажем, что за столом сидит не более девяти хоббитов. Разобьём жителей на девять групп по три сидящих подряд жителя. В каждой такой группе сидит не больше одного хоббита, следовательно, хоббитов не больше девяти.
Теперь докажем, что в правильном 27-угольнике можно образовать тремя вершинами равносторонний треугольник. Пронумеруем вершины 27-угольника как A₁, A₂, ... , A₂₇. Докажем, что A₁A₁₀ = A₁₀A₁₉ = A₁₉A₁. Для этого совместим наложением ломаную A₁A₂...A₁₀ с ломаной A₁₀A₁₁...A₁₉. Так как A₁A₂ = A₁₀A₁₁ (27-угольник правильный), то отрезок A₁A₂ наложится на отрезок A₁₀A₁₁, а так как ∠A₁A₂A₃ = ∠A₁₀A₁₁A₁₂, то следующие два отрезка, которые тоже равны, будут находиться под равным углом от этих, следовательно, наложатся друг на друга. Таким образом совмещается и остальная часть ломаных. Так как точка A₁ совместилась с точкой A₁₀, а точка A₁₀ с точкой A₁₉, то A₁A₁₀ = A₁₀A₁₉. Аналогичным образом доказывается, что A₁A₁₀ = A₁₉A₁ = A₁₀A₁₉, следовательно, равносторонний треугольник можно образовать тремя вершинами правильного 27-угольника. Всего у нас выбрать три вершины для треугольника (они не пересекаются). Назовём вершины такого треугольника "тройкой" (точнее жителей, сидящих на местах в его вершинах).
Пусть за столом сидело ровно девять хоббитов. Так как между двумя любыми хоббитами сидит не меньше двух викингов, между каждыми двумя хоббитами должно сидеть по два викинга. Значит, остаток от деления на 3 мест, на которых сидят хоббиты, одинаков для всех хоббитов. Значит, три викинга, сидящие на равных расстояниях друг от друга, найдутся.
Пусть за столом было не более 8 хоббитов, тогда можно разбить всех жителей за столом на 9 троек. Тогда найдётся тройка, в которой нет ни одного хоббита, следовательно, в ней все являются викингами, которые сидят на равных расстояниях друг от друга.
Первое число после 32823, которое отвечает условию задачи, - 32923, однако, известно, что автомобиль двигался 3 часа целое число километров и его скорость также выражалась целым числом. То есть количество пройденных километров должно быть кратно 3.
Так как число 32823 кратно 3, и количество пройденных километров должно быть кратно 3, то конечное число на спидометре также кратно 3, причем в числе 32823 увеличение разряда сотен, хотя бы на 2 (так как 1 не подходит по условию), приведет к увеличению разряда тысяч, и конечное число будет иметь вид: 33а33, где а может принимать значения 0; 3: 6; 9.
Ближайшее такое число - 33033. Тогда количество пройденных километров за 3 часа:
33033 - 32823 = 210 (км)
И скорость автомобиля: 210 : 3 = 70 (км/ч)
Докажем, что за столом сидит не более девяти хоббитов. Разобьём жителей на девять групп по три сидящих подряд жителя. В каждой такой группе сидит не больше одного хоббита, следовательно, хоббитов не больше девяти.
Теперь докажем, что в правильном 27-угольнике можно образовать тремя вершинами равносторонний треугольник. Пронумеруем вершины 27-угольника как A₁, A₂, ... , A₂₇. Докажем, что A₁A₁₀ = A₁₀A₁₉ = A₁₉A₁. Для этого совместим наложением ломаную A₁A₂...A₁₀ с ломаной A₁₀A₁₁...A₁₉. Так как A₁A₂ = A₁₀A₁₁ (27-угольник правильный), то отрезок A₁A₂ наложится на отрезок A₁₀A₁₁, а так как ∠A₁A₂A₃ = ∠A₁₀A₁₁A₁₂, то следующие два отрезка, которые тоже равны, будут находиться под равным углом от этих, следовательно, наложатся друг на друга. Таким образом совмещается и остальная часть ломаных. Так как точка A₁ совместилась с точкой A₁₀, а точка A₁₀ с точкой A₁₉, то A₁A₁₀ = A₁₀A₁₉. Аналогичным образом доказывается, что A₁A₁₀ = A₁₉A₁ = A₁₀A₁₉, следовательно, равносторонний треугольник можно образовать тремя вершинами правильного 27-угольника. Всего у нас выбрать три вершины для треугольника (они не пересекаются). Назовём вершины такого треугольника "тройкой" (точнее жителей, сидящих на местах в его вершинах).
Пусть за столом сидело ровно девять хоббитов. Так как между двумя любыми хоббитами сидит не меньше двух викингов, между каждыми двумя хоббитами должно сидеть по два викинга. Значит, остаток от деления на 3 мест, на которых сидят хоббиты, одинаков для всех хоббитов. Значит, три викинга, сидящие на равных расстояниях друг от друга, найдутся.
Пусть за столом было не более 8 хоббитов, тогда можно разбить всех жителей за столом на 9 троек. Тогда найдётся тройка, в которой нет ни одного хоббита, следовательно, в ней все являются викингами, которые сидят на равных расстояниях друг от друга.
Подробнее - на -