Про натуральные числа A, B и C известно, что каждое из них больше 5, но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на А, потом вычли из полученного произведения В и прибавили С. Получилось 159. Какое число было загадано? Если чисел несколько то укажите их сумму.
Находим проекцию АО бокового ребра на основание:
АО = в*cos 60° = 2*(1/2) = 1.
Проекция бокового ребра на основание равна (2/3)высоты h основания.
Находим высоту h основания:
h = АО*(3/2) = 1*(3/2) = 3/2.
Сторона а основания равна:
а = h/cos 30° = (3/2)/(√3/2) = 3/√3 = √3.
Высота Н пирамиды равна:
Н = в*sin 60° = 2*(√3/2) = √3.
Площадь So основания равна
So = a²√3/4 = (√3)²√3/4 = 3√3/4.
Периметр основания Р = 3а = 3√3.
Находим апофему А, проекция которой на основание равна (1/3)h.
(1/3)h = (1/3)*(3/2) = 1/2.
A = √(H² +( (1/3)h)²) = √((√3)² + (1/2)²) = √(3 + (1/4)) = √13/2.
Площадь Sбок боковой поверхности равна:
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*3√3*(√13/2) = 3√39/4.
Площадь S полной поверхности пирамиды равна:
S = So + Sбок = (3√3/4) + (3√39/4) = (3/4)(√3 + √39) = (3√3/4)(1+√11).
Объём V пирамиды равен:
V = (1/3)So*H = (1/3)*(3√3/4)*√3 = 3/4.
П / x1 > 1
П / x2 > 1
П / x3 > 1
П / x4 > 1
П / x5 > 1
Перемножаем все неравенства.
П^5 / x1x2x3x4x5 > 1
П^5 / П > 1
П^4 > 1
|П| > 1
Учитывая, что по условию П < 1, то П < -1.
По-другому: пусть какое-то число равно x, а произведение всех чисел кроме x равно П.
По условию П > 1, xП < 1. Чтобы так получилось, необходимо, чтобы было x < 1.
Так как x было любым числом, получается, что все числа меньше 1. Значит, среди любых четырех чисел есть четное число отрицательных чисел - 4 положительных числа, меньших 1, не могут дать произведение, большее одного.
Более того, все числа отрицательны. Действительно, пусть есть одно положительное. Как мы уже доказали, среди чисел есть так же хотя бы одно отрицательное. Вычислим произведения 4 чисел сначала без отрицательного, а потом без положительного. Очевидно, произведения будут разных знаков, хотя по условию они положительны и больше 1. Противоречие.
Пусть x - наибольшее по модулю число. Тогда, так как произведение всех остальных чисел П больше 1, то среди остальных чисел есть хотя бы одно с модулем, большим 1, тогда тем более |x| > 1 и x < 0.
Так как П > 1, x < -1, то xП < -1, что и требовалось доказать.