Проиллюстрируйте на примерах, что тождественные преобразования выражений служат аналитическим аппаратом при:
– доказательстве теорем и выводе формул,
– решении уравнений, неравенств и их систем,
– упрощении выражений,
– нахождении значений выражений,
– исследовании функций и др.

Дано:  y = (x²-3)/(x+1)

ИССЛЕДОВАНИЕ

1. Область определения.

x-1 ≠ 0, Х≠ 1 - разрыв функции при Х=1.  Разрыв II-го рода (неустранимый)

Х∈(-∞;1)∪(1;+∞)

2. Вертикальная асимптота:  Х= 1.  

3. Пересечение с осью Х.

x²-3 = 0.  Нули функции: x1 = - √3, х2 = √3

4. Пересечение с осью У.

Y(0) = 3.

5 Наклонная асимптота.

Уравнение асимптоты:  y = k*x+b

k = lim(+∞)Y(x)/x  = (x²-3)/(x²-1) = 1

b = lim(+∞) Y(x) - k*x = lim(+∞)(x-3)/(x-1) = 1

Y = x +1. - наклонная асимптота.

6. Проверка на чётность.

Y(-x) ≠ Y(x). Y(-x) ≠ - Y(x) Функция ни четная ни нечетная - общего вида..

7. Поведение в точке разрыва.

lim(->1-) Y(x) = -∞.lim(->1+) Y(x) = +∞.

8, Первая производная.

Y'(x)= 2x/(x-1)- (x²-3)/(x-1)² = (x² - 2*x + 3)/(x-1)² = 0

x² - 2x+3 = 0  

Корней нет

9. Локальных  экстремумов - нет.

10. Участки монотонности функции.

Возрастает во всей области определения- Х∈(-∞;1)∪(1;+∞).

11. Вторая производная.

Y"(x)= 2*(x-1}/(x-1)²- 2*(x²-2x+3)/(x-1)³ = -4/(x-1)³=0

Корней нет. Точек перегиба (на графике) - нет.

Перегиб в точке разрыва - х=1

12. Вогнутая - "ложка" - Х∈(-∞;1), выпуклая - "горка" - Х∈(1;+∞).

13. График в приложении

270 | 2                                  675 | 3

135 | 3                                   225 | 3

45 | 3                                     75 | 3

15 | 3                                      25 | 5

5 | 5                                       5 | 5

1                                             1

270 = 2 · 3³ · 5                      675 = 3³ · 5²

НОД (270 и 675) = 3³ · 5 = 135 - наибольший общий делитель

270 : 135 = 2 - яблоки

675 : 135 = 5 - мандарины

ответ: 135 подарков, в каждом из которых по 2 яблока и 5 мандаринов.