23 февраля наша страна отмечает праздник Дня защитника Отечества. В этот день поздравляют мужчин и вспоминают героев, защищавших Родину на поле битвы.
Кто такой защитник Отечества? Это настоящий мужчина – воин, храбрый и благородный рыцарь. Он слабых, он не дрожит перед врагом. Такой человек может быть военным или полицейским. Но совсем необязательно для него держать в руках оружие, потому защитник Отечества может быть и врачом или пожарным.
Обычно в праздник 23 февраля поздравляют мужчин. А ведь защищать Родину может и женщина. История знает много примеров этому. Во время Великой Отечественной Войны медсестры тысячи жизней раненых бойцов. Часто эти хрупкие девушки на себе выносили с поля боя раненых бойцов, здоровенных парней. И все это происходило под огнем и обстрелом врага.
Перечень знаменитых защитников нашей родины восходит еще к временам Древней Руси. Наверное, первыми были три былинных богатыря – Илья Муромец, Алеша Попович и Добрыня Никитич. А еще наше Отечество в разное время защищали полководцы Александр Невский, Минин и Пожарский, фельдмаршал Кутузов, маршал Жуков и другие.
Были и простые люди, отдавшие свою жизнь за Родину или посвятившие ее служению Отечеству. Например, летчик Николай Гастелло, который во время Великой Отечественной войны направил свой горящий самолет на скопление врага. И, конечно, тысячи других безымянных защитников. Кто-то из них стал настоящим героем, кто-то просто сделал для своего народа все, что было в его силах. И память об этих людях не забывается никогда.
Квадрат АВСD и цилиндр расположены таким образом, что АВ – диаметр верхнего основания цилиндра, а СD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности.
а) Докажите, что плоскость квадрата наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
б) Найдите длину той части отрезка ВD, которая находится внутри цилиндра, если образующая цилиндра равна \sqrt 6.
Решение
Главное в этой задаче – хороший рисунок.
а) Пусть A_1 и B_1 - проекции точек А и В на нижнее основание цилиндра. Покажем, что угол между плоскостями ABC и A_1 B_1 C равен 60°.
Пусть М – точка касания окружности нижнего основания цилиндра и прямой DC.
A_1 B_1 \parallel CD,
Tочка М - середина CD.Очевидно, O_1 M\perp CD
Обозначим O_1 M=r;\ r=\frac {1}{2}A_1 B_1=\frac {1}{2} AB.
Тогда OM=AD=2r.
В треугольнике OO_1 M гипотенуза ОМ в 2 раза больше катета O_1 M .
Значит, ∠O_1 OM=30^{\circ}, ∠OMO_1=60^{\circ} . Угол ∠OMO_1 - это угол между плоскостями (ABC) и ( A_1 B_1 C) .
б) Пусть длина образующей цилиндра AA_1=\sqrt 6 ,
F – точка пересечения отрезка BD с поверхностью цилиндра, F_1 – проекция точки F на плоскость A_1 B_1C.
В пункте (а) мы нашли, что OM =2r. Тогда OO_1= AA_1=r\sqrt 3 - образующая цилиндра.
Поскольку AA_1=\sqrt 6, найдем r=\sqrt 2.
Теперь нам известны стороны квадрата. AD=BC=AB=2\sqrt 2.
Диагональ квадрата АВСD в \sqrt 2 раз больше его стороны, поэтому BD=2\sqrt 2\cdot \sqrt 2=4 .
Мы используем файлы cookie, чтобы персонализировать контент, адаптировать и оценивать результативность рекламы, а также обеспечить безопасность. Перейдя на сайт, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.
23 февраля наша страна отмечает праздник Дня защитника Отечества. В этот день поздравляют мужчин и вспоминают героев, защищавших Родину на поле битвы.
Кто такой защитник Отечества? Это настоящий мужчина – воин, храбрый и благородный рыцарь. Он слабых, он не дрожит перед врагом. Такой человек может быть военным или полицейским. Но совсем необязательно для него держать в руках оружие, потому защитник Отечества может быть и врачом или пожарным.
Обычно в праздник 23 февраля поздравляют мужчин. А ведь защищать Родину может и женщина. История знает много примеров этому. Во время Великой Отечественной Войны медсестры тысячи жизней раненых бойцов. Часто эти хрупкие девушки на себе выносили с поля боя раненых бойцов, здоровенных парней. И все это происходило под огнем и обстрелом врага.
Перечень знаменитых защитников нашей родины восходит еще к временам Древней Руси. Наверное, первыми были три былинных богатыря – Илья Муромец, Алеша Попович и Добрыня Никитич. А еще наше Отечество в разное время защищали полководцы Александр Невский, Минин и Пожарский, фельдмаршал Кутузов, маршал Жуков и другие.
Были и простые люди, отдавшие свою жизнь за Родину или посвятившие ее служению Отечеству. Например, летчик Николай Гастелло, который во время Великой Отечественной войны направил свой горящий самолет на скопление врага. И, конечно, тысячи других безымянных защитников. Кто-то из них стал настоящим героем, кто-то просто сделал для своего народа все, что было в его силах. И память об этих людях не забывается никогда.
Квадрат АВСD и цилиндр расположены таким образом, что АВ – диаметр верхнего основания цилиндра, а СD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности.
а) Докажите, что плоскость квадрата наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
б) Найдите длину той части отрезка ВD, которая находится внутри цилиндра, если образующая цилиндра равна \sqrt 6.
Решение
Главное в этой задаче – хороший рисунок.
а) Пусть A_1 и B_1 - проекции точек А и В на нижнее основание цилиндра. Покажем, что угол между плоскостями ABC и A_1 B_1 C равен 60°.
Пусть М – точка касания окружности нижнего основания цилиндра и прямой DC.
A_1 B_1 \parallel CD,
Tочка М - середина CD.Очевидно, O_1 M\perp CD
Обозначим O_1 M=r;\ r=\frac {1}{2}A_1 B_1=\frac {1}{2} AB.
Тогда OM=AD=2r.
В треугольнике OO_1 M гипотенуза ОМ в 2 раза больше катета O_1 M .
Значит, ∠O_1 OM=30^{\circ}, ∠OMO_1=60^{\circ} . Угол ∠OMO_1 - это угол между плоскостями (ABC) и ( A_1 B_1 C) .
б) Пусть длина образующей цилиндра AA_1=\sqrt 6 ,
F – точка пересечения отрезка BD с поверхностью цилиндра, F_1 – проекция точки F на плоскость A_1 B_1C.
В пункте (а) мы нашли, что OM =2r. Тогда OO_1= AA_1=r\sqrt 3 - образующая цилиндра.
Поскольку AA_1=\sqrt 6, найдем r=\sqrt 2.
Теперь нам известны стороны квадрата. AD=BC=AB=2\sqrt 2.
Диагональ квадрата АВСD в \sqrt 2 раз больше его стороны, поэтому BD=2\sqrt 2\cdot \sqrt 2=4 .
Из ∆A_1 B_1 D :
B_1D=\sqrt{(2r)^2+r^2}=r\sqrt{5}=\sqrt{10},
\cos \angle A_1B_1D=\frac{2r}{r\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}};
\angle A_1F_1B_1=90^{\circ} (опирается на диаметр A_1B_1),
B_1F_1=A_1B_1\cdot \cos \angle A_1B_1D=2r\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{4r}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}};
Тогда
F_1D=B_1D-B_1F_1=\sqrt{10}-\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5};
\Delta BB_1D\sim \Delta FF_1D;
\frac{B_1D}{F_1D}=\frac{BD}{FD};\ FD=\frac{F_1D\cdot BD}{B_1D}=\frac{\sqrt{10}\cdot 4}{5\cdot \sqrt{10}}=\frac{4}{5};
BF=BD-FD=4-\frac{4}{5}=\frac{16}{5}.
ВF – это часть отрезка ВD, которая находится внутри цилиндра. Она равна \frac{16}{5}.
б) \frac{16}{5}
Поделиться страницей
Это полезно
© ЕГЭ-Студия
Мы используем файлы cookie, чтобы персонализировать контент, адаптировать и оценивать результативность рекламы, а также обеспечить безопасность. Перейдя на сайт, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.