Решить . : исследование функций проведите по общей схеме исследование функции и постройте ее график. f(x)=x³−1 схема исследования функций при исследовании функций мы будем придерживаться описанной схемы. в общем случае исследование предусматривает решение следующих : найти области определения и значений данной функции f. выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция f: а) четной или нечетной; б) периодической. вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат. найти промежутки знакопостоянства функции f. выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает. найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках. исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения (например, точка x=0 для функции f(x)=1x ) и при больших (по модулю) значениях аргумента. необходимо заметить, что этот план имеет примерный характер. так, для нахождения точек пересечения с осью абсцисс надо решить уравнение f(x)=0, чего мы не умеем делать даже в случае, когда f(x), например, многочлен пятой степени. (существуют, правда, методы, которые во многих случаях позволяют найти число корней такого уравнения и сами корни с любой точностью.) поэтому часто тот или иной этап исследования приходится опускать. однако по возможности в ходе исследования функций желательно придерживаться этой схемы. наиболее трудным этапом исследования является, как правило, поиск промежутков возрастания (убывания), точек экстремума. далее вы познакомитесь с общими решения этих , основанными на применении методов анализа. вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f (например, прямая x=0 для функции f(x)=1x или прямые x=±10 для графика функции, изображенного на рисунке 15в), называют вертикальными асимптотами. чаще всего график имеет вертикальную асимптоту x=a в случае, если выражение, данную функцию, имеет вид дроби, знаменатель которой обращается в нуль в точке a, а числитель нет. например, график функции f(x)=1x имеет вертикальную асимптоту x=0. для графика функции f(x)=tgx вертикальными асимптотами являются прямые x=π2+2πn, где n∈z. если график функции неограниченно приближается к некоторой горизонтальной (в случае функции f(x)=1x2+1 - это прямая y=0 см. рис. 16б) или наклонной (прямая y=x для графика функции f(x)=x+1x) прямой при неограниченном возрастании (по модулю) x, то такую прямую называют горизонтальной (соответственно наклонной) асимптотой.
1) Найти области определения и значений данной функции f.
Для аргумента и функции нет ограничений: их значения - вся числовая ось.
2) Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция f: а) четной или нечетной:
f(-x)=(-x)³−1 = -x³−1 = -(x³+1). Значит, функция не чётная и не нечётная.
б) не периодическая.
3) Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат:
- пересечение с осью Оу (х = 0), у = -1.
- пересечение с осью Ох (у = 0), x³−1 = 0, x³ = 1, x = ∛1 = 1.
4) Найти промежутки знакопостоянства функции f.
На основе нулей функции имеем:
- функция отрицательна при х < 1 (x ∈ (-∞; 1),
- функция положительна при х > 1 (x ∈ (1; +∞).
5) на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.
Найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точка.
Находим производную функции и приравниваем нулю.
y' = 3x² = 0, x = 0 это критическая точка. Находим знаки производной левее и правее этой точки. Так как переменная в квадрате, то знак её положителен. Значит, функция на всей области определения возрастает.
Поэтому не имеет ни минимума, ни максимума.
6) Вторая производная y'' = 6x. Поэтому в точке х = 0 функция имеет перегиб. При x < 0 график функции выпуклый, при x > 0 вогнутый.
7) Асимптот функция не имеет.