Войти Регистрация Спроси ai-bota

Решить коши методом вариаций произвольных постоянных: y"-3y'+2y=1/2+e^-x; y(0)=1+2ln2; y'(0)=3ln2

Показать ответ

Ответ:

degorov152

08.10.2020 07:32

$y''-3y'+2y=\frac{1}{2+e^{-x}}\\\lambda^2-3\lambda+2=0\\\lambda_1=1\ ;\lambda_2=2\\y=C_1e^x+C_2e^{2x}\\\begin{cases}C_1'(x)e^x+C_2'(x)e^{2x}=0\\C_1'(x)e^x+2C_2'(x)e^{2x}=\frac{1}{2+e^{-x}}\end{cases}\\W= \left[\begin{array}{cc}e^x&e^{2x}\\e^{x}&2e^{2x}\end{array}\right]=e^{3x}\\W_1=\left[\begin{array}{cc}0&e^{2x}\\\frac{1}{2+e^{-x}}&2e^{2x}\end{array}\right]=-\frac{e^{2x}}{2+e^{-x}}\\W_2=\left[\begin{array}{cc}e^x&0\\e^{x}&\frac{1}{2+e^{-x}}\end{array}\right]=\frac{e^x}{2+e^{-x}}$

$\displaystyle C_1'(x)=\frac{W_1}{W}=-\frac{e^{2x}}{(2+e^{-x})e^{3x}}=-\frac{1}{2e^{x}+1}\\C_1(x)=-\int\frac{dx}{2e^{x}+1}=-\int\frac{(2e^{x}-2e^{x}+1)dx}{2e^x+1}=\\-\int(1-\frac{2e^x}{2e^x+1})dx=ln|2e^x+1|-x+C_1\\\\\\\\C_2'(x)=\frac{W_2}{W}=\frac{e^{x}}{(2+e^{-x})e^{3x}}=\frac{1}{2e^{2x}+e^x}}\\C_2(x)=\int\frac{dx}{e^x(2e^x+1)}=\int(\frac{1}{e^{x}}-\frac{2}{2e^{x}+1})dx=\\=-e^{-x}+2ln|2e^{x}+1|-2x+C_2\\\\y=(ln|2e^x+1|-x+C_1)e^x+(-e^{-x}+2ln|2e^{x}+1|-2x+C_2)e^{2x}$

$\displaystyle y(0)=1+2ln2\\2+2ln2-3ln3=C_1+C_2\\\\y'=e^x(ln|2e^x+1|-x+C_1)+e^x(\frac{2e^x}{2e^x+1}-1)+\\+2e^{2x}(-e^{-x}+2ln|2e^x+1|-2x+C_2)+\\+e^{2x}(e^{-x}+\frac{4e^x}{2e^x+1}-2)\\\\y'(0)=3ln2\\2+3ln2-5ln3=C_1+2C_2\\\\C_2=ln2-2ln3\\C_1=2+ln2-ln3\\\\y=(ln|2e^x+1|-x+2+ln2-ln3)e^x+\\+(-e^{-x}+2ln|2e^{x}+1|-2x+ln2-2ln3)e^{2x}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

568423984268

16.08.2020 16:20

Найдите корень уравнения 1) 0,6(а-2)=0,4(7+а) - 4,6 2) (5-у)/(у-1)=9/2...

dfgro

26.08.2022 12:03

2)Запиши во задачи, сен она решается 100 20ответ ТОМУ ...

viktoria050504

16.10.2022 15:43

2)Запиши во задачи, если она решается: 100 - 20.ответ:кто решит тому ...

akkiekim

19.05.2020 03:23

Какие точки имеют одинаковые ординаты 1)A и X ;2) В и С; 4) С и А;4) В и К...

578fyvhjj

18.02.2021 01:04

Розв яжіть рівняння -3x+1=4...

SattorovaSonya

02.12.2021 09:42

решить задания по векторам...

умняшка220

05.10.2020 09:16

Центр круга- точка О довжина його радіуса - 5 см де розташована точка М якщо ОМ =3 см А всердині круга Б на колі що обмужує круг В зовні круга Г визначити не можна...

den1112pro

10.07.2022 11:56

Найдите дробь, равную данной. 3,5(6) 3,5656 3,5666 3,56600...

BeNetCat

09.04.2020 18:39

Три сестры собрали 178 кг яблок. Старшая собрала в 6 раз больше, чем младшая, а средняя - на 26 кг больше, чем младшая. Сколько килограммов яблок собрала младшая сестра?...

dsfsksgsms

25.01.2020 02:51

В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны основания равны a и d. Высоты равна h. Найдите угол между соседними боковыми гранями...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку