Для каждого натурального N существует единственная степень двойки 2k, для которой N ≤ 2k < 2N. Подставляя в это утверждение вместо N числа 10n–1, 2·10n–1 и 5·10n–1, получаем, что для любого n: существует ровно одна n-значная степень двойки, десятичная запись которой начинается с цифры 1; существует ровно одна n-значная степень двойки, десятичная запись которой начинается с цифры 2 или 3; существует ровно одна n-значная степень двойки, десятичная запись которой начинается с одной из цифр 5, 6, 7, 8 или 9. Из этого следует, что ровно 100 выписанных в условии чисел начинаются с единицы (по одному для каждого количества разрядов от 2 до 101), ровно 100 – с двойки или тройки, ровно 100 – с цифры, большей четверки, (по одному для каждого количества разрядов от 1 до 100). Значит, остается 33 числа начинающихся с четверки.
При этом 8Х=18У (ведь каждый зуб должен сцепиться со своей парой на другой шестерне).
Итак, нужно найти ОБЩЕЕ КРАТНОЕ чисел 8 и 18 - НАИМЕНЬШЕЕ = 72.
8*9=18*4
Меньшая шестерня сделает 9 оборотов, а большая - 4 оборота и ТОГДА "зубці обох шестерень окажутся в початковом положенні".
Когда меньшая шестерня сделает 2*9=18 оборотов, то большая сделает 2*4=8 оборотов и СНОВА "зубці обох шестерень окажутся в початковом положенні".
Когда меньшая шестерня сделает 3*9=27 оборотов, то большая сделает 3*4=12 оборотов и СНОВА "зубці обох шестерень окажутся в початковом положенні"
существует ровно одна n-значная степень двойки, десятичная запись которой начинается с цифры 1;
существует ровно одна n-значная степень двойки, десятичная запись которой начинается с цифры 2 или 3;
существует ровно одна n-значная степень двойки, десятичная запись которой начинается с одной из цифр 5, 6, 7, 8 или 9.
Из этого следует, что ровно 100 выписанных в условии чисел начинаются с единицы (по одному для каждого количества разрядов от 2 до 101), ровно 100 – с двойки или тройки, ровно 100 – с цифры, большей четверки, (по одному для каждого количества разрядов от 1 до 100). Значит, остается 33 числа начинающихся с четверки.