решить задачу! Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Являются ли события А (появился туз) и В (вынута карта красной масти) независимыми?

Будем считать, что точки A(1,-1,4), B(2,5,1), C(2,1,1) даны для определения уравнения плоскости, проходящей через эти точки.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 1 y - (-1) z - 4

2 - 1 5 - (-1) 1 - 4

2 - 1 1 - (-1) 1 - 4

 = 0

x - 1 y - (-1) z - 4

1 6 -3

1 2 -3

 = 0

(x - 1)  (6·(-3)-(-3)·2)  -  (y - (-1))  (1·(-3)-(-3)·1)  +  (z - 4)  (1·2-6·1)  = 0

(-12) (x - 1)  + 0 (y - (-1))  + (-4) (z - 4)  = 0

 - 12x - 4z + 28 = 0.

Можно сократить на -4 и получим уравнение 3x + z - 7 = 0.

Нормальный (это перпендикулярный) вектор этой плоскости равен:

n = (3; 0 ; 1)  модуль (длина) его равна √(9+0+1) = √10.

Отсюда получаем путём нормирования единичный вектор:

n1 = ((3/√10); 0; (1/√10).

Нехай Похила перетинає площину в точці B.

З точки а опустимо перпендикуляр до площини α в точку С, що належить площині. АС і буде відстанню від точки А до площини. ВС - проекція похилої.

У прямокутному трикутнику АВС відома гіпотенуза АВ, рівна 6 см, і кут в = 60 градусів. Знайдемо катети.

Кут в дорівнює 60 градусам, тоді кут А дорівнює 30.

Катет, що лежить проти кута А дорівнює половині гіпотенузи, значить

НД = 1/2*АВ = 1/2 * 6 = 3 см.

За теормеме Піфагора знаходимо другий катет

АС = √(АВ2-ВС2) = √(36-9) = √25 = 5,

Відповідь: 3 см - Довжина проекції, 5 см - відстань від точки А до площини.