1) площадь боковой поверхности пирамиды. Sбок = (1/2)Р*А (Р - периметр основания, А - апофема). Р = 3*(4√3) = 12√3. А = √(СМ²-(ВС/2)²) = √(25-12) = √13. Sбок = (1/2)*(12√3)*√13 = 6√39.
2) объем пирамиды. V = (1/3)So*H (So - площадь основания, Н - высота пирамиды). So = a²√3/4 = 48√3/4 = 12√3. H = √(5²-((2/3)h)²) = √(25-((2/3)*6)²) = √(25-16) = √9 = 3. V = (1/3)*(12√3)*3) = 12√3.
3) угол α между боковым ребром и плоскостью основания. α = arc sin(H/AM) = arc sin (3/5) = 0,643501 радиан = 36,8699°.
4) скалярное произведение векторов 0,5( МВ+МС) ЕА, где Е- середина ВС - из за большого объёма задания этот вопрос надо рассматривать отдельно.
5) объем вписанного в пирамиду шара. Проведём осевое сечение пирамиды через боковое ребро. Высота АД основания (она же и медиана, и биссектриса) равна: АД = a*cos30° = (4√3)*(√3/2) = 6. Вписанный шар в этом сечении - вписанная окружность в треугольник АМД радиусом R. R = (abc)/(4S), где S - сечение треугольника АМД. S = (1/2)AD*H = (1/2)6*3 = 9. Тогда R = (5*6*√13)/(4*9) = 5√13/6 ≈ 3,004626. Объём шара Vш = (4/3)πR³ = ((4/3)π*125*13√13)/(3*216) = (π*1625√13)/162 ≈ π* 36,1668.
6) угол между стороной основания и плоскостью боковой грани. Для этого надо найти плоский угол между стороной (пусть это АС) и её проекцией на плоскость грани СМВ. Проекция АС на АМС - это отрезок АК, Точка К лежит на апофеме АД, Найдём длину АК: AK = 2S(AMD)/MД. S(AMД) = (1/2)АД*Н = (1/2)6*3 = 9. АК = (2*9)/(√13) = 18/(√13) ≈ 4,992302. Определим длину отрезка СК: Для этого надо узнать длину отрезка КД: КД = √(АД²-АК²) = √(36-(324/13)) = 12/√13 ≈ 3,328201. Тогда СК = √(СД²+КД²) = √((2√3)²+(144/13)) = 10√3/√13 ≈ 4,803845.
Теперь известны все стороны треугольника АКС, чтобы определить угол АСК, являющийся углом β между стороной АС и плоскостью грани СМВ. cos β = (AC²+КС²-АК²)/(2*АС*КС) = = ((4√3)²+(10√3/√13)²-(18/√13)²)/(2*(4√3)*(10√3/√13)) = = 0,693375245. Отсюда β = 0.804633677 радиан = 46,10211375°.
Сначала разберёмся, кого они загадывали. Вот список героев книги:
Буратино, Карло, Джузеппе, Сверчок, Арлекин, Пьеро, Мальвина, Артемон, Карабас, Дуремар, Алиса, Базилио.
Вроде всё.
Ясно, что Таня загадала Буратино, он один из 8 разных букв.
Юля загадала персонажа из 7 букв, всего на 1 букву меньше, чем Таня.
Но вот кого загадала Юля?
Если Дуремар, Артемон, Арлекин или Сверчок, то это 7 разных букв.
Тогда Юля использовала разных букв на 1 меньше, чем Таня.
Если же она загадала Базилио, то это 6 разных букв, на 2 меньше Тани.
А если Карабас, то это 5 разных букв. Тогда разных на 3 меньше.
Sбок = (1/2)Р*А (Р - периметр основания, А - апофема).
Р = 3*(4√3) = 12√3.
А = √(СМ²-(ВС/2)²) = √(25-12) = √13.
Sбок = (1/2)*(12√3)*√13 = 6√39.
2) объем пирамиды.
V = (1/3)So*H (So - площадь основания, Н - высота пирамиды).
So = a²√3/4 = 48√3/4 = 12√3.
H = √(5²-((2/3)h)²) = √(25-((2/3)*6)²) = √(25-16) = √9 = 3.
V = (1/3)*(12√3)*3) = 12√3.
3) угол α между боковым ребром и плоскостью основания.
α = arc sin(H/AM) = arc sin (3/5) = 0,643501 радиан = 36,8699°.
4) скалярное произведение векторов 0,5( МВ+МС) ЕА, где Е- середина ВС - из за большого объёма задания этот вопрос надо рассматривать отдельно.
5) объем вписанного в пирамиду шара.
Проведём осевое сечение пирамиды через боковое ребро.
Высота АД основания (она же и медиана, и биссектриса) равна:
АД = a*cos30° = (4√3)*(√3/2) = 6.
Вписанный шар в этом сечении - вписанная окружность в треугольник АМД радиусом R.
R = (abc)/(4S), где S - сечение треугольника АМД.
S = (1/2)AD*H = (1/2)6*3 = 9.
Тогда R = (5*6*√13)/(4*9) = 5√13/6 ≈ 3,004626.
Объём шара Vш = (4/3)πR³ = ((4/3)π*125*13√13)/(3*216) = (π*1625√13)/162 ≈ π* 36,1668.
6) угол между стороной основания и плоскостью боковой грани.
Для этого надо найти плоский угол между стороной (пусть это АС) и её проекцией на плоскость грани СМВ.
Проекция АС на АМС - это отрезок АК, Точка К лежит на апофеме АД,
Найдём длину АК:
AK = 2S(AMD)/MД.
S(AMД) = (1/2)АД*Н = (1/2)6*3 = 9.
АК = (2*9)/(√13) = 18/(√13) ≈ 4,992302.
Определим длину отрезка СК:
Для этого надо узнать длину отрезка КД:
КД = √(АД²-АК²) = √(36-(324/13)) = 12/√13 ≈ 3,328201.
Тогда СК = √(СД²+КД²) = √((2√3)²+(144/13)) = 10√3/√13 ≈ 4,803845.
Теперь известны все стороны треугольника АКС, чтобы определить угол АСК, являющийся углом β между стороной АС и плоскостью грани СМВ.
cos β = (AC²+КС²-АК²)/(2*АС*КС) =
= ((4√3)²+(10√3/√13)²-(18/√13)²)/(2*(4√3)*(10√3/√13)) =
= 0,693375245.
Отсюда β = 0.804633677 радиан = 46,10211375°.