Задачка довольно не простая, поэтому решение будет длинным.
Просто хочу сказать что все что я решал до этого привело меня в полное безумие. И этим решением является текст данный мной ниже.
Так как гипотенуза равна и один из катетов например AC = x, то катет AB =
Проводим биссектрисы из двух остроугольных вершин.
Их пересечение создает треугольник ВDC:
Угол ∠ABC =
Значит ∠DBC =
Угол ∠BCA =
Значит ∠DCA = .
Напишем уравнение прямой BC
где BA = , AC = x
Теперь, зная что центр вписанной окружности находится на одинаковом расстоянии от сторон треугольника, напишем систему равенств.
Теперь ищем такое значение Dx, при котором Dx = расстоянию от точки D то прямой BC.
Расстояние от точки D то прямой BC будет равно по формуле
Составим систему равенств
А теперь приступим к настоящему :
Проводим биссектрисы из прямой и остроугольной вершины.
Их пересечение создает треугольник ADC:
Угол ∠BAC = 90°
Значит ∠DAC = 45°
Найдем значение x1 при котором прямые AD и DC пересекаются:
x1 = , где k1 и b1 коэффициенты прямой AD а k2 и b2 коэффициенты прямой DC.
Площадь треугольника BDC равно .
А радиус окружности равен
Подставим все известные нам величины.
Получился полный капец.
Я сам в шоке.
Я не просто в шоке, а в полном отчаянии, потому что нам сейчас надо найти производную от этого.
Самое обидное то, что я знаю какой будет ответ, а именно
потому что максимальный радиус будет при равных катетах прямоугольного треугольника.
Но обоснование ответа будет мне стоить похоже 10 лет жизни.
прощения. Я не смог вам с решением данной задачи
Такое надо в уме решать...в идеале..
на числовой прямой отмечаем нули функции, т.е точки при значении которых каждый двучлен равен 0.
Отмечаем закрашенную точку 4, и выколотую -1, т.к. знаменатель неравен 0.
Дальше рассматриваете интервалы:
От -∞ до -1 не включая, оба выражения отрицательны, а значит, само выражение положительно. Ставим +.
От -1 до 4, нижнее строго больше нуля, верхнее меньше или равно нулю. Все выражение меньше или равно нулю. Ставим -.
От 4 до +∞, и нижнее, и верхнее больше нуля, значит, ставим +.
Смотрим, нам подходит только средний интервал, т.е. х принадлежит от -1 до 4 вкл.
ответ: х∈(-1; 4].
Задачка довольно не простая, поэтому решение будет длинным.
Просто хочу сказать что все что я решал до этого привело меня в полное безумие. И этим решением является текст данный мной ниже.
Так как гипотенуза равна
и один из катетов например AC = x, то катет AB = ![12 + 8\sqrt{12}-x^{2}](/tpl/images/1609/9694/9b5fd.png)
Проводим биссектрисы из двух остроугольных вершин.
Их пересечение создает треугольник ВDC:
Угол ∠ABC =![arctg(AC/AB)](/tpl/images/1609/9694/75af5.png)
Значит ∠DBC =![\frac{arctg(AC/AB)}{2}](/tpl/images/1609/9694/bd0e9.png)
Угол ∠BCA =![arctg(AB/AC)](/tpl/images/1609/9694/f6cea.png)
Значит ∠DCA =
.
Напишем уравнение прямой BC
где BA =
, AC = x
Теперь, зная что центр вписанной окружности находится на одинаковом расстоянии от сторон треугольника, напишем систему равенств.
Теперь ищем такое значение Dx, при котором Dx = расстоянию от точки D то прямой BC.
Расстояние от точки D то прямой BC будет равно по формуле
Составим систему равенств
![\left \{ {{Dy=Dx} \atop {-BA*Dx*BC = (Dx - BA)*AC} *(-\frac{BA}{AC}*Dx + BA - Dx )}} \right.](/tpl/images/1609/9694/4b616.png)
Не решайте такА теперь приступим к настоящему :
Так как гипотенуза равна
и один из катетов например AC = x, то катет AB = ![12 + 8\sqrt{12}-x^{2}](/tpl/images/1609/9694/9b5fd.png)
Проводим биссектрисы из прямой и остроугольной вершины.
Их пересечение создает треугольник ADC:
Угол ∠BAC = 90°
Значит ∠DAC = 45°
Угол ∠BCA =![arctg(AB/AC)](/tpl/images/1609/9694/f6cea.png)
Значит ∠DCA =
.
Найдем значение x1 при котором прямые AD и DC пересекаются:
x1 =
, где k1 и b1 коэффициенты прямой AD а k2 и b2 коэффициенты прямой DC.
Площадь треугольника BDC равно
.
А радиус окружности равен![R = \frac{S}{BC}](/tpl/images/1609/9694/e0a32.png)
Подставим все известные нам величины.
Я сам в шоке.
Я не просто в шоке, а в полном отчаянии, потому что нам сейчас надо найти производную от этого.
Самое обидное то, что я знаю какой будет ответ, а именно![R = \frac{\sqrt{2}+1}{2}](/tpl/images/1609/9694/ba84c.png)
потому что максимальный радиус будет при равных катетах прямоугольного треугольника.
Но обоснование ответа будет мне стоить похоже 10 лет жизни.
прощения. Я не смог вам с решением данной задачи
Такое надо в уме решать...в идеале..
на числовой прямой отмечаем нули функции, т.е точки при значении которых каждый двучлен равен 0.
Отмечаем закрашенную точку 4, и выколотую -1, т.к. знаменатель неравен 0.
Дальше рассматриваете интервалы:
От -∞ до -1 не включая, оба выражения отрицательны, а значит, само выражение положительно. Ставим +.
От -1 до 4, нижнее строго больше нуля, верхнее меньше или равно нулю. Все выражение меньше или равно нулю. Ставим -.
От 4 до +∞, и нижнее, и верхнее больше нуля, значит, ставим +.
Смотрим, нам подходит только средний интервал, т.е. х принадлежит от -1 до 4 вкл.
ответ: х∈(-1; 4].