В
Все
М
Математика
А
Английский язык
Х
Химия
Э
Экономика
П
Право
И
Информатика
У
Українська мова
Қ
Қазақ тiлi
О
ОБЖ
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
У
Українська література
М
Музыка
П
Психология
А
Алгебра
Л
Литература
Б
Биология
М
МХК
О
Окружающий мир
О
Обществознание
И
История
Г
Геометрия
Ф
Французский язык
Ф
Физика
Д
Другие предметы
Р
Русский язык
Г
География
Милкаi
Милкаi
11.06.2021 10:00 •  Математика

С интегральной формулы Коши или формулы типа Коши вычислить:


С интегральной формулы Коши или формулы типа Коши вычислить:

Показать ответ
Ответ:
Апётр
Апётр
04.12.2020 13:48

2i\pi

Пошаговое объяснение:

Подынтегральная функция f(x) имеет два простых нуля в области, ограниченной контуром |z|=4: z_{1,2}=\dfrac{4\pm i\sqrt{20-16}}{2}=2\pm i,|z_{1,2}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}

А потому введем внутренние непересекающиеся контуры, например -

\gamma _1:|z-(2+i)|=\dfrac{1}{2} и \gamma _2:|z-(2-i)|=\dfrac{1}{2} . Тогда в области D , ограниченной окружностью \Gamma:|z|=4 и указанными внутренними контурами, подынтегральная функция аналитическая, а внутри каждой из областей, ограниченных внутренними контурами, имеет ровно один ноль, и он простой.

А тогда \int\limits_{\Gamma}f(z)dz=\int\limits_{\gamma_1}f(z)dz+\int\limits_{\gamma_2}f(z)dz

Значит

\int\limits_{\gamma_1}f(z)dz=\int\limits_{\gamma_1}\dfrac{\frac{z+2}{z-(2-i)}}{z-(2+i)}dz=2\pi i\cdot \dfrac{(2+i)+2}{(2+i)-(2-i)}=2\pi i\cdot \dfrac{(4+i)}{2i}=\pi\cdot (4+i)

\int\limits_{\gamma_2}f(z)dz=\int\limits_{\gamma_1}\dfrac{\frac{z+2}{z-(2+i)}}{z-(2-i)}dz=2\pi i\cdot \dfrac{(2-i)+2}{(2-i)-(2+i)}=2\pi i\cdot \dfrac{(4-i)}{-2i}=\pi\cdot (i-4)

Подставляя вычисленные значения, получим

\int\limits_{\Gamma}f(z)dz=\pi(4+i)+\pi (i-4)=2i\pi

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота