С полным, подробным и, главное, понятным решением Две вершины прямоугольника принадлежат графику функции у=0,5х², D(y)= [–3√2; 3√2], а две другие — прямой у=9. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник?

Пусть абсциссы вершин прямоугольника, лежащих на параболе у=0.5х²,  будут соответственно х и -х, тогда расстояние между ними х-(-х)=2х- одна сторона прямоугольника. Т.к. ординаты этих точек у=0.5х², то расстояние между у=9 и у=0.5х² находим как разность (9-0.5х²)- это другая сторона прямоугольника. Поскольку введены  стороны прямоугольника, они должны быть положительны.

х>0; 9-0.5х² >0;    (3√2-х*)(3√2+х) >0;  

–3√23√2

-                       +                      -

х∈(0;3√2)

Налицо задача на нахождение наибольшего значения функции на  открытом промежутке, х∈(0;3√2). Функция площади s=2х*(9-0.5х²).

Найдем производную функции s'=2*(9-0.5x²)-x*2x=18-x²-2x²=18-3х²

Найдем критические точки. 18-3х²=0⇒х=±√6 - в ОДЗ попадает только точка √6, исследуем ее на экстремум,

0√6

                                 +                  -

Поскольку х=√6- единственная точка, принадлежащая промежутку (0;3√2), и при переходе через нее производная меняет знак с + на -  , то это точка максимума, в этой точке функция площади достигает наибольшего значения. s(√6)=2√6*(9-0.5(√6)²)=2√6*(9-3)=12√6

ответ 12√6