Саша написал пять натуральных (необязательно различных) чисел. Получилось всего три различных значения 45,62 и 79. Посмотрев на полученные Олей значения, Петя смог точно назвать наибольшее из написанных Сашей чисел. Какое это число?

Основная формула: |A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|.

Теперь решение задачи.

Пусть Ω - множество о студентов.

А - множество студентов из о которые изучают английский,

B - множество студентов из о которые изучают немецкий,

C - множество студентов из о которые изучают русский.

Понятно, что A⊂Ω, B⊂Ω, C⊂Ω.

По условию задачи:

|Ω| = 100,

|A∩B∩C| = 5

|B∩C| = 10

|A∩B| = 8

|A∩C| = 20

|B| = 30

|C| = 28

|A| = 50.

a) |Ω\ A∪B∪C| = |Ω| - |A∪B∪C|.

|A∪B∪C| = |A| + |B∪C| - |A∩(B∪C)| = |A| + |B| + |C| - |B∩C| - |(A∩B)∪(A∩C)| =

= |A| + |B| + |C| - |B∩C| - ( |A∩B| + |A∩C| - |A∩B∩A∩C|) =

= |A| + |B| + |C| - |B∩C| - |A∩B| - |A∩C| + |A∩B∩C| =

= 50 + 30 + 28 - 10 - 8 - 20 + 5 = 108 - 38 + 5 = 70 + 5 = 75.

|Ω\ A∪B∪C| = 100 - 75 = 25.

б)

Искомое количество = |A\ (B∪C)| + |B\ (A∪C)| + |C\ (A∪B)|,

|A\ (B∪C)| = |A\ (A∩(B∪C))| = |A| - |A∩(B∪C)| = |A| - |(A∩B)∪(A∩C)| =

= |A| - (|A∩B| + |A∩C| - |A∩B∩A∩C|) = |A| - |A∩B| - |A∩C| + |A∩B∩C| =

= 50 - 8 - 20 + 5 = 22+5 = 27.

Аналогично с двумя другими.

|B\ (A∪C)| = |B| - |B∩A| - |B∩C| + |A∩B∩C| = 30 - 8 - 10 + 5 = 12+5 = 17.

|C\ (A∪B)| = |C| - |C∩A| -|C∩B| + |A∩B∩C| = 28 - 20 - 10 + 5 = -2 + 5 = 3.

Искомое количество = 27 + 17 + 3 = 47.

в)

Искомое количество = |(A∩B)\C| + |(B∩C)\A| + |(A∩C)\B|.

|(A∩B)\C| = |(A∩B)\(A∩B∩C)| = |A∩B| - |A∩B∩C| = 8 - 5 = 3.

Аналогично с двумя другими:

|(B∩C)\A| = |B∩C| - |A∩B∩C| = 10 - 5 = 5.

|(A∩C)\B| = |A∩C| - |A∩B∩C| = 20 - 5 = 15.

Искомое количество = 3+5+15 = 23.

Пошаговое объяснение:

1. Находим производную функции

Приравниваем ее к нулю и решаем уравнение.

Определяем знак производной. Т.к. уравнение производной является параболой, ветви вверх, следовательно

Значит, в точке х=-1 имеем максимум, в точке х=3 - минимум. Вычисляем значения функции в этих точках.

ответ: 3

2. По результатам вычислений в пункте 1 даем ответ. Функция возрастает там, где производная положительная.

ответ: 6

3. Находим вторую производную

Приравниваем ее к нулю и решаем уравнение.

При х<1 у''<0

При х>1 у''>0

Следовательно, х=1 есть точка перегиба.

Вычисляем значение функции в точке перегиба

- точка перегиба

ответ: 9

4. По результатам предыдущего пункта находим интервалы вогнутости. Функция вогнута там, где вторая производная положительная.

ответ: 10

5. Результатам исследования удовлетворяет график, изображенный на рисунке 15

ответ: 15