((sin2x)/y + x)dx + (y - (sinx)^2/(y^2))dy =0

решить уравнения в полных дифференциалах

Показать ответ

Ответ:

Suri31

17.08.2020 06:28

$\left(\dfrac{\sin 2x}{y}+x\right)dx+\left(y-\dfrac{\sin^2x}{y^2}\right)dy=0\\ \\ \underbrace{\left(\dfrac{\sin 2x}{y}+x\right)}_{M(x,y)}dx+\underbrace{\left(y-\dfrac{1-\cos 2x}{2y^2}\right)}_{N(x;y)}dy=0$

Уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 является в полных дифференциалах, поскольку выполняется равенство $M'_y(x;y)=N'_x(x;y)=-\dfrac{\sin 2x}{y^2}$

Если функция F(x,y) удовлетворяет F'_x(x;y)=M(x,y) и F'_y(x,y)=N(x,y) , то F(x,y)=C - решение уравнения

Интегрируем функции F по переменной х

$F(x,y)=\displaystyle \int M(x,y)dx=\int\left(\dfrac{\sin 2x}{y}+x\right)dx=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{\cos 2x}{2y}+C(y)$

Далее дифференцируем по у

$F'_y(x,y)=\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{\cos 2x}{2y}+C(y)\right)'_y=\dfrac{\cos 2x}{2y^2}+C'(y)$

Действительно, $F'_y(x,y)=N(x,y)=y-\dfrac{1-\cos 2x}{2y^2}$ . Отсюда $C'(y)=y-\dfrac{1}{2y^2}~~~\Rightarrow~~~ C(y)=\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{1}{2y}$

Общий интеграл

$\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{1}{2y}-\dfrac{\cos 2x}{2y}+\dfrac{x^2}{2}=C$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

maksgrant86

08.02.2020 10:13

Поділи число 104 на три частини у відношенні 2 : 5 : 6...

deniwolf200

16.01.2023 05:34

Число 50 збільшили на 20% яке число отримали?...

ВладВишня

06.11.2021 18:01

Найти угловой коэффициент прямой проходящей через точки (1; 2) и (0; -1)...

DenKovYa

06.11.2021 18:01

Вшкольном оркестре7 девочек , а мальчиков в 4 раза больше,чем девочек.сколько всего детей в школьном оркестре? на сколько больше мальчиков в этом оркестре, чем девочек?...

olga0520

06.11.2021 18:01

Объясни как найти пройденный путь зная скорость и время движения как найти время движения ? а скорость?...

nikserg223

06.11.2021 18:01

Расстояние между пунктом а и в 180 км из пункта а в в выехал трактор со скоростью 12 км\ч а спустя 5 ч вслед за ним выехал мотоцикл который обогнав трактор прибыл в пункт...

кэтлин2005

06.11.2021 18:01

На сколько разделили наибольшее шестизначное число , если получили 30303?...

dhdb1

05.05.2023 13:43

5 ость действий и вычисли значения выражений,18 000 (300 - 400 - 600 - 50180 567 - 1844 445 534 89Камчісовом выражении первым действием должНо почется сложение определи...

GreenDjai

25.03.2020 07:31

4 б рассмотри схему и составь по ней обратную задачу...

gvg1971

14.07.2021 02:57

Составь вопрос к так, чтобы она решалась в одно действие. запиши вопрос к и реши её. осоед поймал 6 ос, а шмелей - в 8 раз больше. измени вопрос так, чтобы можно было решить...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку

((sin2x)/y + x)dx + (y - (sinx)^2/(y^2))dy =0 решить уравнения в полных дифференциалах

((sin2x)/y + x)dx + (y - (sinx)^2/(y^2))dy =0

решить уравнения в полных дифференциалах