Сколькими нулями заканчивается произведение всех чисел от 1 до 2011? Произведение всех чисел от 1 до 2011 можно представить как 1*2*3*4*5*6*...*2009*2010*2011 =(1*3*4*6*...*2009*201*2011)*10^n вынося все множители 10 за скобки , n - количество множителей 10 и оно же количество нулей, т.е. n - количество нулей, которым заканчивается произведение всех чисел от 1 до 2011. 10^n = (2^n)*(5^n) , т.е. если мы вынесем за скобки все пары 2*5 ,то получим все множители 10. Количество 2 будет больше, чем 5, поэтому для каждой 5 всегда найдётся 2. Задача сводится к нахождению количества множителей пятёрок в данном произведении 2011 / 5 = 402,2 402 числа кратных одной 5 (405 пятёрок) 2011 / (5 × 5) = 80,44 80 чисел кратных двум 5 (80×2=160 пятёрок) 2011 / (5 × 5 × 5) = 16,088 16 чисел кратных трём 5 (16×3=48 пятёрок) 2011 / (5 × 5 × 5 × 5) = 3,2176 3 чисел кратных четырём 5 (3×4=12 пятёрок) в 402 числах: 402 пятёрки 160 - 80 = 80 пятёрок 48 -16 - 16 = 16 пятёрок 12 -3 -3 -3 = 3 пятёрки т.о. если разложить на множители произведение всех чисел от 1 до 2011, то в нём, среди его множителей, будет : 402 + 80 + 16 +3 = 501 пятёрка , 5^501 n = 501 1*2*3*4*5*6*...*2009*2010*2011 =(1*3*4*6*...*2009*201*2011)*10^501 ответ: 501 нулём заканчивается произведение всех чисел от 1 до 2011
Произведение всех чисел от 1 до 2011 можно представить как
1*2*3*4*5*6*...*2009*2010*2011 =(1*3*4*6*...*2009*201*2011)*10^n
вынося все множители 10 за скобки , n - количество множителей 10
и оно же количество нулей, т.е. n - количество нулей, которым
заканчивается произведение всех чисел от 1 до 2011.
10^n = (2^n)*(5^n) , т.е. если мы вынесем за скобки все пары 2*5 ,то получим все множители 10. Количество 2 будет больше, чем 5, поэтому для каждой 5 всегда найдётся 2.
Задача сводится к нахождению количества множителей пятёрок в данном произведении
2011 / 5 = 402,2 402 числа кратных одной 5 (405 пятёрок)
2011 / (5 × 5) = 80,44 80 чисел кратных двум 5 (80×2=160 пятёрок)
2011 / (5 × 5 × 5) = 16,088 16 чисел кратных трём 5 (16×3=48 пятёрок)
2011 / (5 × 5 × 5 × 5) = 3,2176 3 чисел кратных четырём 5 (3×4=12 пятёрок)
в 402 числах:
402 пятёрки
160 - 80 = 80 пятёрок
48 -16 - 16 = 16 пятёрок
12 -3 -3 -3 = 3 пятёрки
т.о. если разложить на множители произведение всех чисел от 1 до 2011, то в нём, среди его множителей, будет :
402 + 80 + 16 +3 = 501 пятёрка , 5^501 n = 501
1*2*3*4*5*6*...*2009*2010*2011 =(1*3*4*6*...*2009*201*2011)*10^501
ответ:
501 нулём заканчивается произведение всех чисел от 1 до 2011