Каждое натуральное число {\displaystyle n>1}n>1 можно представить в виде {\displaystyle n=p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{k}}{\displaystyle n=p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{k}}, где {\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}{\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}} — простые числа, причём такое представление единственно, если не учитывать порядок следования множителей.
Если формально условиться, что произведение пустого множества чисел равно 1, то условие {\displaystyle n>1}n>1 в формулировке можно опустить, тогда для единицы подразумевается разложение на пустое множество простых: {\displaystyle 1=1}{\displaystyle 1=1}[3][4].
Как следствие, каждое натуральное число {\displaystyle n}n единственным образом представимо в виде
{\displaystyle n=p_{1}^{d_{1}}\cdot p_{2}^{d_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{d_{k}},}{\displaystyle n=p_{1}^{d_{1}}\cdot p_{2}^{d_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{d_{k}},} где {\displaystyle p_{1}<p_{2}<\ldots <p_{k}}{\displaystyle p_{1}<p_{2}<\ldots <p_{k}} — простые числа, и {\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{k}}{\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{k}} — некоторые натуральные числа.
Такое представление числа {\displaystyle n}n называется его каноническим разложением на простые сомножители.
Разделим депутатов на пары. В каждой паре спрашиваем у обоих депутатов: "Твой напарник - рыцарь?". - Получили два нет: один рыцарь, второй лжец (если один рыцарь, то второй - лжец, так как рыцарь сказал правду. Если один лжец, то второй рыцарь, так как лжец солгал). - Получили "да-нет". Если первый изначально был бы рыцарем, то он стал бы лжецом, а второй - лжец, но лжец не ответил бы нет. Значит, первый был лжецом, стал рыцарем, а второй был и остался лжецом. - Получили "нет-да". Если первый был бы рыцарем, то второй сначала был лжецом, но лжец не ответил бы да. Значит, первый - лжец, второй был рыцарем, а стал лжецом. - Получили два да. Если первый был бы до ответа рыцарем, то и второй был до ответа рыцарем. Но после ответа первый поменял тип, и второй, будучи рыцарем, не мог назвать его рыцарем. Значит, первый был лжецом, стал рыцарем, стал лжецом, а второй был лжецом, стал рыцарем.
Итого про каждую пару мы знаем, сколько в ней лжецов, сколько рыцарей. Значит, мы это знаем и про всех депутатов.
Основная теорема арифметики утверждает[1][2]:
Каждое натуральное число {\displaystyle n>1}n>1 можно представить в виде {\displaystyle n=p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{k}}{\displaystyle n=p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{k}}, где {\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}{\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}} — простые числа, причём такое представление единственно, если не учитывать порядок следования множителей.
Если формально условиться, что произведение пустого множества чисел равно 1, то условие {\displaystyle n>1}n>1 в формулировке можно опустить, тогда для единицы подразумевается разложение на пустое множество простых: {\displaystyle 1=1}{\displaystyle 1=1}[3][4].
Как следствие, каждое натуральное число {\displaystyle n}n единственным образом представимо в виде
{\displaystyle n=p_{1}^{d_{1}}\cdot p_{2}^{d_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{d_{k}},}{\displaystyle n=p_{1}^{d_{1}}\cdot p_{2}^{d_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{d_{k}},} где {\displaystyle p_{1}<p_{2}<\ldots <p_{k}}{\displaystyle p_{1}<p_{2}<\ldots <p_{k}} — простые числа, и {\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{k}}{\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{k}} — некоторые натуральные числа.
Такое представление числа {\displaystyle n}n называется его каноническим разложением на простые сомножители.
Пошаговое объяснение:
- Получили два нет: один рыцарь, второй лжец (если один рыцарь, то второй - лжец, так как рыцарь сказал правду. Если один лжец, то второй рыцарь, так как лжец солгал).
- Получили "да-нет". Если первый изначально был бы рыцарем, то он стал бы лжецом, а второй - лжец, но лжец не ответил бы нет. Значит, первый был лжецом, стал рыцарем, а второй был и остался лжецом.
- Получили "нет-да". Если первый был бы рыцарем, то второй сначала был лжецом, но лжец не ответил бы да. Значит, первый - лжец, второй был рыцарем, а стал лжецом.
- Получили два да. Если первый был бы до ответа рыцарем, то и второй был до ответа рыцарем. Но после ответа первый поменял тип, и второй, будучи рыцарем, не мог назвать его рыцарем. Значит, первый был лжецом, стал рыцарем, стал лжецом, а второй был лжецом, стал рыцарем.
Итого про каждую пару мы знаем, сколько в ней лжецов, сколько рыцарей. Значит, мы это знаем и про всех депутатов.