Каждое целое число а можно разделить на натуральное число m с остатком, то есть представить в виде а = mq + r, где q и r – целые числа и r (остаток) не меньше 0, но меньше q.Среди любых m последовательных целых чисел найдется ровно одно число, делящееся на m.Различные натуральные числа при делении на натуральное m могут давать любой из остатков 0, 1, 2, ..., m–1. Однако степени натуральных чисел с фиксированным натуральным показателем n>1 не обязательно снова могут давать при делении на m любой из этих остатков. Так при делении на 3, 4, 5 и 8 четвёртые степени целых чисел могут давать остатки только 0 и 1. Ниже приведена таблица возможных остатков при делении квадратов, кубов, четвертых и пятых степеней на числа от 3 до 10
а) n-ный член имеет вид an=1/[n*(n+1)]=1/n-1/(n+1). Поэтому 1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(19*20)=1-1/2+1/2-1/3+...-1/20+1/20-1/21. Таким образом, все члены, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются, и искомая сумма равна 1-1/21=20/21. ответ: 20/21.
б) n-ный член имеет вид an=1/[(n+9)*(n+10)]=1/(n+9)-1/(n+10). Поэтому 1/(10*11)+1/(11*12)+...+1/(19*20)=1/10-1/11+1/11-1/12+...+-1/19+1/19-1/20. Таким образом, все члены, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются, и искомая сумма равна 1/10-1/20=1/20. ответ: 1/20.
Пошаговое объяснение:
а) n-ный член имеет вид an=1/[n*(n+1)]=1/n-1/(n+1). Поэтому 1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(19*20)=1-1/2+1/2-1/3+...-1/20+1/20-1/21. Таким образом, все члены, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются, и искомая сумма равна 1-1/21=20/21. ответ: 20/21.
б) n-ный член имеет вид an=1/[(n+9)*(n+10)]=1/(n+9)-1/(n+10). Поэтому 1/(10*11)+1/(11*12)+...+1/(19*20)=1/10-1/11+1/11-1/12+...+-1/19+1/19-1/20. Таким образом, все члены, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются, и искомая сумма равна 1/10-1/20=1/20. ответ: 1/20.