ответ: y=e^x*[C1*cos(2*x)+C2*sin(2*x)]+x²+2*x-2, где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Пошаговое объяснение:
Перед нами - неоднородное ЛДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение y=y1+y2, где y1 - общее решение однородного уравнения y"-2*y'+5*y=0, а y2 - частное решение данного неоднородного уравнения.
1) Находим y1. Составляем характеристическое уравнение (ХУ): k²-2*k+5=0. Оно имеет комплексные сопряжённые корни k1=1+2*i и k2=1-2*i, где i=√(-1). Поэтому y1=e^x*[C1*cos(2*x)+C2*sin(2*x)], где C1 и C2 - произвольные постоянные.
2) Находим y2. Правая часть уравнения имеет "специальный" вид y2=e^(m*x)*[P1(x)*cos(n*x)+P2(x)*sin(n*x)], где m=n=0, P1(x)=5*x²+6*x-12, P2(x)=0. Так как числа m+i*n и m-i*n не являются корнями ХУ, то y2=e^(m*x)*[R1(x)*cos(n*x)+R2(x)*sin(n*x)]=R1(x), где R1(x) - многочлен, степень которого равна старшей из степеней многочленов P1(x) и P2(x). Так как эта степень равна двум, то R1(x)=A*x²+B*x+C, где A,B,C - неизвестные пока коэффициенты. Для их нахождения дважды дифференцируем y2: y2'=2*A*x+B, y2"=2*A и подставляем y2, y2' и y2" в уравнение. После приведения подобных членов получаем алгебраическое уравнение: 5*A*x²+x*(-4*A+5*B)+(2*A-2*B+5*C)=5*x²+6*x-12. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, приходим к системе уравнений:
5*A=5
-4*A+5*B=6
2*A-2*B+5*C=-12
Решая её, находим A=1, B=2, С=-2. Тогда y2=x²+2*x-2.
3) Находим y=y1+y2=e^x*[C1*cos(2*x)+C2*sin(2*x)]+x²+2*x-2, где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Проверка:
y'=C1*e^x*cos(2*x)-2*C1*e^x*sin(2*x)+C2*e^(x)*sin(2*x)+2*C2*e^x*cos(2*x)+2, y'"=-3*C1*e^x*cos(2*x)-4*C1*e^x*sin(2*x)-3*C2*e^x*sin(2*x)+4*C2*e^x*cos(2*x)+2, y"-2*y'+5*y=5*x²+6*x-12, что совпадает с правой частью уравнения. Значит, решение найдено верно.
ответ: y=e^x*[C1*cos(2*x)+C2*sin(2*x)]+x²+2*x-2, где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Пошаговое объяснение:
Перед нами - неоднородное ЛДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение y=y1+y2, где y1 - общее решение однородного уравнения y"-2*y'+5*y=0, а y2 - частное решение данного неоднородного уравнения.
1) Находим y1. Составляем характеристическое уравнение (ХУ): k²-2*k+5=0. Оно имеет комплексные сопряжённые корни k1=1+2*i и k2=1-2*i, где i=√(-1). Поэтому y1=e^x*[C1*cos(2*x)+C2*sin(2*x)], где C1 и C2 - произвольные постоянные.
2) Находим y2. Правая часть уравнения имеет "специальный" вид y2=e^(m*x)*[P1(x)*cos(n*x)+P2(x)*sin(n*x)], где m=n=0, P1(x)=5*x²+6*x-12, P2(x)=0. Так как числа m+i*n и m-i*n не являются корнями ХУ, то y2=e^(m*x)*[R1(x)*cos(n*x)+R2(x)*sin(n*x)]=R1(x), где R1(x) - многочлен, степень которого равна старшей из степеней многочленов P1(x) и P2(x). Так как эта степень равна двум, то R1(x)=A*x²+B*x+C, где A,B,C - неизвестные пока коэффициенты. Для их нахождения дважды дифференцируем y2: y2'=2*A*x+B, y2"=2*A и подставляем y2, y2' и y2" в уравнение. После приведения подобных членов получаем алгебраическое уравнение: 5*A*x²+x*(-4*A+5*B)+(2*A-2*B+5*C)=5*x²+6*x-12. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, приходим к системе уравнений:
5*A=5
-4*A+5*B=6
2*A-2*B+5*C=-12
Решая её, находим A=1, B=2, С=-2. Тогда y2=x²+2*x-2.
3) Находим y=y1+y2=e^x*[C1*cos(2*x)+C2*sin(2*x)]+x²+2*x-2, где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Проверка:
y'=C1*e^x*cos(2*x)-2*C1*e^x*sin(2*x)+C2*e^(x)*sin(2*x)+2*C2*e^x*cos(2*x)+2, y'"=-3*C1*e^x*cos(2*x)-4*C1*e^x*sin(2*x)-3*C2*e^x*sin(2*x)+4*C2*e^x*cos(2*x)+2, y"-2*y'+5*y=5*x²+6*x-12, что совпадает с правой частью уравнения. Значит, решение найдено верно.