Решение: 1) Область определения: D(y) (-∞;∞) 2) Множество значений: E(y) 3) проверим, является ли функция четной или нечетной: у(x)=x³*e^(-x²/2) y(-x)=(-x)³*e^(-(-x)²/2)=-x³*e^(-x²/2) Так как у(-х)=-у(х), то функция не четная. 4) Найдем нули функции: у=0; x³*e^(-x²/2)=0 x³=0 x=0 График пересекает оси координат в точке (0;0) 5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастаний и убывания: y'=3x²*e^(-x²/2)-x^4*e^(-x²/2)=e^(-x²/2)*(3x²-x^4); y'=0 e^(-x²/2)*(3x²-x^4)=0 3x²-x^4=0 x²(3-x²)=0 x²=0 x1=0 3-x²=0 x2=√3 x3=-√3 Так как на промежутках (-∞;-√3) и (√3;∞) y'< 0, то на этих промежутках функция убывает. Так как на промежутках (-√3;0) и (0;√3) y'> 0, то на этих промежутках функция возрастатет. Так как при переходе через точку х=√ производная меняет свой знак с - на + то в этой точке функция имеет минимум: у(√3 )=-3√3*e^(-3/2)≈-23.1 Так как при переходе через точку х=-√ производная меняет свой знак с + на - то в этой точке функция имеет максимум: у(√ )=3√3*e^(-3/2)≈23.1 В точке х=0 функция экстремума не имеет 6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегида: y"=-x*e^(-x²/2)*(3x²-x^4)+e^(-x²/2)*(6x-4x³)=e^(-x²/2)*(6x-7x³+x^5); y"=0 e^(-x²/2)*(6x-7x³+x^5)=0 6x-7x³+x^5=0 x(x^4-7x²+6)=0 x1=0 x^4-7x²+6=0 a) x²=6 x2=-√6 x3=√6 б) x²=1 x4=1 x5=-1 Так как на промежутках (-∞;-√6) (-1:0) и (1; √6) y"< 0, то на этих промежутках график функции направлен выпуклостью вверх Так как на промежутках (-√6;-1) (0;1) и (√6;∞) y"> 0, то на этих промежутках график функции направлен выпкулостью вниз. Точки х=0; х=±1 и x=±√6 являются точками перегиба. 7) Проверим имеет ли данная функция асимптоты: Так как точек разрыва финкция не имеет, то она не имеет вертикальных асимптот. Наклонные асимптоты вида y=kx+b k=lim (при х->∞) (x³*e^(-x²/2)/x)=∞ Наклонных асимптот функция не имеет. 8) Все, строй график
Жили были Квадрат и Треугольник.Квадрат жил в Большом квадратном дому с треугольной крышой, а треугольник жил в маленьком домике с плоской и не практичной крышой. Однажды квадрат и треугольник встретились и им очень понравилось их общение. После очередной прогулки они решили пойти друг к другу в гости.Сначала они пошли к квадрату в гости, там было просторно и был великолепнейший камин,затем они пошли в гсти к треугольнику,но квадрат никак не пролазил в дверь он лез-лез и всё безуспешно,тогда он сел на крышу и сломал маленький домик треугольника... Треугольник плакал-плакал,а квадрат его утешил тем что он постероет ему новенький домик.
1) Область определения: D(y) (-∞;∞)
2) Множество значений: E(y)
3) проверим, является ли функция четной или нечетной:
у(x)=x³*e^(-x²/2)
y(-x)=(-x)³*e^(-(-x)²/2)=-x³*e^(-x²/2)
Так как у(-х)=-у(х), то функция не четная.
4) Найдем нули функции:
у=0; x³*e^(-x²/2)=0
x³=0
x=0
График пересекает оси координат в точке (0;0)
5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастаний и убывания:
y'=3x²*e^(-x²/2)-x^4*e^(-x²/2)=e^(-x²/2)*(3x²-x^4); y'=0
e^(-x²/2)*(3x²-x^4)=0
3x²-x^4=0
x²(3-x²)=0
x²=0
x1=0
3-x²=0
x2=√3
x3=-√3
Так как на промежутках (-∞;-√3) и (√3;∞) y'< 0, то на этих промежутках функция убывает.
Так как на промежутках (-√3;0) и (0;√3) y'> 0, то на этих промежутках функция возрастатет.
Так как при переходе через точку х=√ производная меняет свой знак с - на + то в этой точке функция имеет минимум: у(√3 )=-3√3*e^(-3/2)≈-23.1
Так как при переходе через точку х=-√ производная меняет свой знак с + на - то в этой точке функция имеет максимум: у(√ )=3√3*e^(-3/2)≈23.1
В точке х=0 функция экстремума не имеет
6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегида:
y"=-x*e^(-x²/2)*(3x²-x^4)+e^(-x²/2)*(6x-4x³)=e^(-x²/2)*(6x-7x³+x^5); y"=0
e^(-x²/2)*(6x-7x³+x^5)=0
6x-7x³+x^5=0
x(x^4-7x²+6)=0
x1=0
x^4-7x²+6=0
a) x²=6
x2=-√6
x3=√6
б) x²=1
x4=1
x5=-1
Так как на промежутках (-∞;-√6) (-1:0) и (1; √6) y"< 0, то на этих промежутках график функции направлен выпуклостью вверх
Так как на промежутках (-√6;-1) (0;1) и (√6;∞) y"> 0, то на этих промежутках график функции направлен выпкулостью вниз.
Точки х=0; х=±1 и x=±√6 являются точками перегиба.
7) Проверим имеет ли данная функция асимптоты:
Так как точек разрыва финкция не имеет, то она не имеет вертикальных асимптот.
Наклонные асимптоты вида y=kx+b
k=lim (при х->∞) (x³*e^(-x²/2)/x)=∞
Наклонных асимптот функция не имеет.
8) Все, строй график
Однажды квадрат и треугольник встретились и им очень понравилось их общение.
После очередной прогулки они решили пойти друг к другу в гости.Сначала они пошли к квадрату в гости, там было просторно и был великолепнейший камин,затем они пошли в гсти к треугольнику,но квадрат никак не пролазил в дверь он лез-лез и всё безуспешно,тогда он сел на крышу и сломал маленький домик треугольника...
Треугольник плакал-плакал,а квадрат его утешил тем что он постероет ему новенький домик.