Таблица, состоящая из 2019 строк и 2019 столбцов заполнена натуральными числами от 1 до 2019 так, что в каждой строке присутствуют все числа от 1 до 2019. найдите сумму чисел, стоящих на диагонали, которая соединяет левый верхний и правый нижний углы таблицы, если заполнение таблицы симметрично относительно этой диагонали.
Пошаговое объяснение:
Из уравнения
следует, что среди чисел
либо все нечетные, либо одно.
Заметим, что
Из нашего условия это преобразуется как
Но мы знаем, что среди чисел
либо все четные, либо одно. Если четны все, то они могут быть равны только 
в этом случае числа 
могут быть равны с точностью до перестановки только 
или 
. Второе решение не подходит в исходное уравнение, поэтому его отметаем. Если же среди чисел 
только одно четное, то оно обязано быть равно 
, а остальные - 
. В этом случае 
равны 
, 
, 
. Из этих троек нам подходит только вторая.
В итоге, решений всего два.
Задача на логику
Вам нужно договориться, кто ВЫКЛЮЧАЕТ лампу
этот человек будет считать количество людей, побывавших в комнате с лампой
остальные же следуют следующей схеме:
если их впервые приводят в комнату, то они включают лампу, конечно же, если она не горит
в случае, если лампа горит, они ничего не делают и считают, что следующий их раз будет первым (т.е. первым будет именно тот раз, когда они придут и лампа будет выключена)
соответственно, каждый из пяти человек (кроме "выключателя") включит лампу ровно один раз
действия же выключателя просты:
если он заходит в комнату и видит включенную лампу, то он ее выключает и прибавляет к своему счетчику побывавших в комнате 1, если лампа выключена, то он ничего не делает
соответственно, когда у выключателя будут данные, что все 5 его друзей побывали в комнате (т.е. его счетчик будет равен 5), он может смело говорить, что все побывали в комнате.