Возьмем 20 коробок. В первую положим по одной карточке каждого вида, во вторую положим карточку 0, в третью - карточку 1,... в одиннадцатую - карточку 9. Коробки с двенадцатой по двадцатую оставим пустыми. Это было сделано для того, чтобы между коробками, содержащими карточки n было ровно n коробок.
Назовем нормой n сумму номеров коробок, содержащих карточку с номером n.
Заметим, что в данный момент норма n равна 1 + (1 + n + 1) = n + 3 [Одна карточка каждого вида лежит в коробке 1, а вторая карточка лежит через n коробок от нее - в коробке с номером 1 + n + 1], причем норма нечетных чисел четна, норма четных чисел нечетна. И правда:
1) пусть n - нечетно. Тогда норма n - четное число(как сумма нечетных чисел)
2) пусть n - четно. Тогда норма n - нечетное число(как сумма четного и нечетного чисел)
Так как среди цифр 5 четных и 5 нечетных, то сумма норм этих цифр нечетна [Сумма 5 нечетных чисел нечетна, сумма 5 четных чисел четна, тогда сумма всех норм нечетна как сумма четного и нечетного чисел]
Теперь, чтобы сохранить кол-во коробок между коробками с карточками одного вида, будем сдвигать карточки одного вида в одну сторону на одно и то же количество коробок. Допустим, что после нескольких сдвигов условие задачи выполняется.
Заметим, что четность нормы n при этом не изменится. И вправду: Пусть первая карточка n лежит в коробке a, вторая - в коробке b, сдвиг идет на k коробок. Норма до сдвига: a + b. Норма после сдвига: (a + k) + (b + k) = a + b + 2k - сумма нормы до сдвига и четного числа. Очевидно, что четности совпадают.
Значит и суммы норм до и после всех сдвигов совпадают по четности.
Очевидно, что сумма норм всех карточек после всех сдвигов при выполнении условия задачи равна сумме номеров коробок [Все коробки заняты, и в каждой по одной карточке].
Сумма номеров коробок в конце равна (1 + 20) / 2 * 20 = 21 * 10 = 210 - четное число. Противоречие с тем, что четность норм не меняется.
А значит и получить порядок карт, указанный в условии, невозможно
Вот что удалось получить Всего получилось 89 пар и еще 2sin 90 = 2*1 = 2. В каждой скобке раскрываем произведение по формуле: sin(180 - a) = sin a Аналогично и остальные A = 4sin^2(1)*4sin^2(2)*...*4sin^2(89)*2= = 16(sin 1*sin 89)^2*16(sin 2*sin 88)^2*...*16(sin 44*sin 46)*4sin^2(45)*2 = A Всего получилось 44 пары и 4sin^2(45) = 4*(1/√2)^2 = 4*1/2 = 2 В каждой скобке раскрываем произведение по формуле sin(90 - a) = cos a Аналогично и остальные A = 4sin^2(2)*4sin^2(4)*...*4sin^2(88)*4 = =16(sin 2*sin 88)^2*16(sin 4*sin 86)^2*...*16(sin 44*sin 46)^2*4 = A Получилось 22 пары и число 4. Каждую скобку раскрываем по той же формуле Аналогично и остальные A = 4sin^2(4)*4sin^2(8)*4sin^2(12)*4sin^2(16)*4sin^2(20)*4sin^2(24)*4sin^2(28)* *4sin^2(32)*4sin^2(36)*4sin^2(40)*4sin^2(44)*4sin^2(48)*4sin^2(52)*4sin^2(56)* *4sin^2(60)*4sin^2(64)*4sin^2(68)*4sin^2(72)*4sin^2(76)*4sin^2(80)*4sin^2(84)* *4sin^2(88)*4 = ? Что дальше делать, совершенно непонятно. Если складывать опять от краев к центру, то получится 4sin^2(4)*4sin^2(88) = 16(sin 4*sin 88)^2 = 16*[1/2(cos(88-4)-cos(88+4))]^2 = = 16*1/4*(cos 84 - cos 92)^2 = 4(cos 84 - cos 92)^2 Но ничего хорошего из этого не получается.
Возьмем 20 коробок. В первую положим по одной карточке каждого вида, во вторую положим карточку 0, в третью - карточку 1,... в одиннадцатую - карточку 9. Коробки с двенадцатой по двадцатую оставим пустыми. Это было сделано для того, чтобы между коробками, содержащими карточки n было ровно n коробок.
Назовем нормой n сумму номеров коробок, содержащих карточку с номером n.
Заметим, что в данный момент норма n равна 1 + (1 + n + 1) = n + 3 [Одна карточка каждого вида лежит в коробке 1, а вторая карточка лежит через n коробок от нее - в коробке с номером 1 + n + 1], причем норма нечетных чисел четна, норма четных чисел нечетна. И правда:
1) пусть n - нечетно. Тогда норма n - четное число(как сумма нечетных чисел)
2) пусть n - четно. Тогда норма n - нечетное число(как сумма четного и нечетного чисел)
Так как среди цифр 5 четных и 5 нечетных, то сумма норм этих цифр нечетна [Сумма 5 нечетных чисел нечетна, сумма 5 четных чисел четна, тогда сумма всех норм нечетна как сумма четного и нечетного чисел]
Теперь, чтобы сохранить кол-во коробок между коробками с карточками одного вида, будем сдвигать карточки одного вида в одну сторону на одно и то же количество коробок. Допустим, что после нескольких сдвигов условие задачи выполняется.
Заметим, что четность нормы n при этом не изменится. И вправду: Пусть первая карточка n лежит в коробке a, вторая - в коробке b, сдвиг идет на k коробок. Норма до сдвига: a + b. Норма после сдвига: (a + k) + (b + k) = a + b + 2k - сумма нормы до сдвига и четного числа. Очевидно, что четности совпадают.
Значит и суммы норм до и после всех сдвигов совпадают по четности.
Очевидно, что сумма норм всех карточек после всех сдвигов при выполнении условия задачи равна сумме номеров коробок [Все коробки заняты, и в каждой по одной карточке].
Сумма номеров коробок в конце равна (1 + 20) / 2 * 20 = 21 * 10 = 210 - четное число. Противоречие с тем, что четность норм не меняется.
А значит и получить порядок карт, указанный в условии, невозможно
ответ: нет, нельзя
Всего получилось 89 пар и еще 2sin 90 = 2*1 = 2.
В каждой скобке раскрываем произведение по формуле:
sin(180 - a) = sin a
Аналогично и остальные
A = 4sin^2(1)*4sin^2(2)*...*4sin^2(89)*2=
= 16(sin 1*sin 89)^2*16(sin 2*sin 88)^2*...*16(sin 44*sin 46)*4sin^2(45)*2 = A
Всего получилось 44 пары и 4sin^2(45) = 4*(1/√2)^2 = 4*1/2 = 2
В каждой скобке раскрываем произведение по формуле
sin(90 - a) = cos a
Аналогично и остальные
A = 4sin^2(2)*4sin^2(4)*...*4sin^2(88)*4 =
=16(sin 2*sin 88)^2*16(sin 4*sin 86)^2*...*16(sin 44*sin 46)^2*4 = A
Получилось 22 пары и число 4. Каждую скобку раскрываем по той же формуле
Аналогично и остальные
A = 4sin^2(4)*4sin^2(8)*4sin^2(12)*4sin^2(16)*4sin^2(20)*4sin^2(24)*4sin^2(28)*
*4sin^2(32)*4sin^2(36)*4sin^2(40)*4sin^2(44)*4sin^2(48)*4sin^2(52)*4sin^2(56)*
*4sin^2(60)*4sin^2(64)*4sin^2(68)*4sin^2(72)*4sin^2(76)*4sin^2(80)*4sin^2(84)*
*4sin^2(88)*4 = ?
Что дальше делать, совершенно непонятно. Если складывать опять от краев к центру, то получится
4sin^2(4)*4sin^2(88) = 16(sin 4*sin 88)^2 = 16*[1/2(cos(88-4)-cos(88+4))]^2 =
= 16*1/4*(cos 84 - cos 92)^2 = 4(cos 84 - cos 92)^2
Но ничего хорошего из этого не получается.