Смысл разложения на множители предельно прост и понятен. Прямо из самого названия. Можно забыть (или не знать), что такое множитель, но то, что это слово происходит от слова "умножить" сообразить-то можно?) Разложить на множители означает: представить выражение в виде умножения чего-то на чего-то. Да простят мне математика и русский язык...) И всё.
Например, надо разложить число 12. Можно смело записать:
12=3·4
Вот мы и представили число 12 в виде умножения 3 на заметить, что циферки справа (3 и 4) совсем другие, чем слева (1 и 2). Но мы прекрасно понимаем, что 12 и 3·4 одно и то же. Суть числа 12 от преобразования не изменилась.
А можно разложить 12 по-другому? Легко!
12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=
Вариантов разложения - бесконечное количество.
Разложение чисел на множители - штука полезная. Очень например, при действиях с корнями. Но разложение на множители алгебраических выражений вещь не то, что полезная, она - необходимая! Чисто для примера:
Упростить:
Кто не умеете раскладывать выражение на множители, отдыхает в сторонке. Кто умеет - упрощает и получает:
Эффект потрясающий, правда?) Кстати, решение достаточно простое. Ниже сами увидите. Или, например, такое задание:
Решить уравнение:
х5 - x4= 0
Решается в уме, между прочим. С разложения на множители. Ниже мы решим этот пример. ответ: x1= 0; x2= 1.
Или, то же самое, но для старшеньких):
Решить уравнение:
Что, не подарок?) А вы читайте дальше, сами удивитесь, как всё просто. ответ будет: x1= 1; x2= 10.
На этих примерах я показал основное назначение разложения на множители: упрощение дробных выражений и решение некоторых типов уравнений. Рекомендую запомнить практическое правило:
Если перед нами страшное дробное выражение, можно попробовать разложить на множители числитель и знаменатель. Очень часто дробь сокращается и упрощается.
Если перед нами уравнение, где справа - ноль, а слева - не пойми что, можно попробовать разложить левую часть на множители. Иногда
Определяем координаты точек на параболе у = х²: К(7; 49), L(2; 4), M(10, 100). Уравнение прямой KL: Сократим знаменатели на -5 и приведём к общему знаменателю: 9х-63 = у-49, 9х-у-14 = 0 или у = 9х-14. Эта прямая пересекает ось ординат в точке -14. Коэффициент наклона прямой MN равен (100+14)/10 = 114/10 = 11,4. Получаем уравнение прямой MN: y = 11,4x-14. Теперь находим точку N на параболе как точку пересечения параболы у=х² и прямой у=11,4х-14. х² = 11,4х-14. Получаем квадратное уравнение х²-11,4х+14 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=(-11.4)^2-4*1*14=129.96-4*14=129.96-56=73.96;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x₁=(√73.96-(-11.4))/(2*1)=(8.6-(-11.4))/2=(8.6+11.4)/2=20/2=10 (это точка М)(;x₂=(-√73.96-(-11.4))/(2*1)=(-8.6-(-11.4))/2=(-8.6+11.4)/2=2.8/2=1,4.
Смысл разложения на множители предельно прост и понятен. Прямо из самого названия. Можно забыть (или не знать), что такое множитель, но то, что это слово происходит от слова "умножить" сообразить-то можно?) Разложить на множители означает: представить выражение в виде умножения чего-то на чего-то. Да простят мне математика и русский язык...) И всё.
Например, надо разложить число 12. Можно смело записать:
12=3·4
Вот мы и представили число 12 в виде умножения 3 на заметить, что циферки справа (3 и 4) совсем другие, чем слева (1 и 2). Но мы прекрасно понимаем, что 12 и 3·4 одно и то же. Суть числа 12 от преобразования не изменилась.
А можно разложить 12 по-другому? Легко!
12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=
Вариантов разложения - бесконечное количество.
Разложение чисел на множители - штука полезная. Очень например, при действиях с корнями. Но разложение на множители алгебраических выражений вещь не то, что полезная, она - необходимая! Чисто для примера:
Упростить:
Кто не умеете раскладывать выражение на множители, отдыхает в сторонке. Кто умеет - упрощает и получает:
Эффект потрясающий, правда?) Кстати, решение достаточно простое. Ниже сами увидите. Или, например, такое задание:
Решить уравнение:
х5 - x4= 0
Решается в уме, между прочим. С разложения на множители. Ниже мы решим этот пример. ответ: x1= 0; x2= 1.
Или, то же самое, но для старшеньких):
Решить уравнение:
Что, не подарок?) А вы читайте дальше, сами удивитесь, как всё просто. ответ будет: x1= 1; x2= 10.
На этих примерах я показал основное назначение разложения на множители: упрощение дробных выражений и решение некоторых типов уравнений. Рекомендую запомнить практическое правило:
Если перед нами страшное дробное выражение, можно попробовать разложить на множители числитель и знаменатель. Очень часто дробь сокращается и упрощается.
Если перед нами уравнение, где справа - ноль, а слева - не пойми что, можно попробовать разложить левую часть на множители. Иногда
К(7; 49), L(2; 4), M(10, 100).
Уравнение прямой KL:
Сократим знаменатели на -5 и приведём к общему знаменателю:
9х-63 = у-49,
9х-у-14 = 0 или у = 9х-14.
Эта прямая пересекает ось ординат в точке -14.
Коэффициент наклона прямой MN равен (100+14)/10 = 114/10 = 11,4.
Получаем уравнение прямой MN: y = 11,4x-14.
Теперь находим точку N на параболе как точку пересечения параболы у=х² и прямой у=11,4х-14.
х² = 11,4х-14.
Получаем квадратное уравнение х²-11,4х+14 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-11.4)^2-4*1*14=129.96-4*14=129.96-56=73.96;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√73.96-(-11.4))/(2*1)=(8.6-(-11.4))/2=(8.6+11.4)/2=20/2=10 (это точка М)(;x₂=(-√73.96-(-11.4))/(2*1)=(-8.6-(-11.4))/2=(-8.6+11.4)/2=2.8/2=1,4.
ответ: абсцисса точки N равна 1,4.