Тема: Понятие математической индукции и методы доказательства истинности математического высказывания 1.Доказать равенство: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2 (n≥1) 2.Доказать, что при каждом натуральном n число n3 + 11n делится на 6. 3.Доказать, что справедливо неравенство .
Пошаговое объяснение:
1. Проверяем для n=1
1= \frac{1*2}{2}1=
2
1∗2
- верно
2. Предполагаем, что для n=k это равенство выполняется, т.е.
1+2+...+k= \frac{k(k+1)}{2}1+2+...+k=
2
k(k+1)
3. Теперь докажем, что для n=k+1 равенство также выполняется:
1+2+...+k+(k+1)= \frac{k(k+1)}{2} +(k+1)1+2+...+k+(k+1)=
2
k(k+1)
+(k+1) (по предположению из второго пункта) = (k+1)( \frac{k}{2} +1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2} = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}=(k+1)(
2
k
+1)=
2
(k+1)(k+2)
=
2
(k+1)((k+1)+1)
- что и нужно было доказать.