Точка f лежит на продолжении стороны bc (bf> bc) параллелограмма abcd. прямая af пересекает диагональ bd в точке k, а сторону cd в точке m, при этом ak=2 и mf=3. найти отношение площади треугольника bak к площади треугольника dkm.
Введем обозначения как на рисунке. ΔCFM подобен ΔBFA по двум углам (∠F общий, ∠FCM=∠FCB как соответственные при AB║CD и секущей FB) ⇒CM / AB = FM / FA x / b = 3 / (5 + y) ΔBAK подобен ΔDMK по двум углам (углы при вершине К равны, как вертикальные, ∠KMD=∠KAB как соответственные при AB║CD и секущей FA) ⇒AB / DM = AK / KM b / (b-x) = 2 / y ⇒ y = 2(b - x)/b, подставим в первое: x / b = 3b / (5b + 2b - 2x ) = 3b / (7b - 2x) x(7b - 2x) = 3b² 7bx - 2x² - 3b² = 0 3b² - 7bx + 2x² = 0 разделим на x²: 3(b/x)² - 7(b/x) + 2 = 0 Пусть b/x = t 3t² - 7t + 2 = 0 t = 2 или t = 1/3 т.к. b>x, то b/x = 2 ⇒ b = 2x Т. е. М - середина CD Sbak / Sdkm = (AB / MD)² = 4
ΔCFM подобен ΔBFA по двум углам (∠F общий, ∠FCM=∠FCB как соответственные при AB║CD и секущей FB)
⇒CM / AB = FM / FA
x / b = 3 / (5 + y)
ΔBAK подобен ΔDMK по двум углам (углы при вершине К равны, как вертикальные, ∠KMD=∠KAB как соответственные при AB║CD и секущей FA)
⇒AB / DM = AK / KM
b / (b-x) = 2 / y ⇒ y = 2(b - x)/b, подставим в первое:
x / b = 3b / (5b + 2b - 2x ) = 3b / (7b - 2x)
x(7b - 2x) = 3b²
7bx - 2x² - 3b² = 0
3b² - 7bx + 2x² = 0 разделим на x²:
3(b/x)² - 7(b/x) + 2 = 0
Пусть b/x = t
3t² - 7t + 2 = 0
t = 2 или t = 1/3
т.к. b>x, то b/x = 2 ⇒ b = 2x
Т. е. М - середина CD
Sbak / Sdkm = (AB / MD)² = 4