Точка о -центр окружности вокруг остроугольного треугольника abc. окружность описана вокруг треугольника aoc пересекает стороны ав и вс в точках e и f. оказалось, что прямая ef делит площадь треугольника авс пополам. определите угол в.
Получаем AOC=2ABC=2B=AEC=AFC как вписанные углы опирающийся на одну и туже дугу . Тогда CEB=180-AEC=180-2ABC , значит треугольник BEC равнобедренный и BE=EC , аналогично AF=BF . По теореме о секущих BE*AB=BF*BC Тогда AB=BC*BF/BE По условию S(BEF) = S(AEFC) Выразим через стороны S(EBF) = BE*BF*sin2B/2 , S(AECF) = S(ABC)-S(BEF) = BF*BC^2/BE * sinB/2 . Приравнивая получаем BC=BE*sqrt(2) AB=BF*sqrt(2) Учитывая то что треугольник BEC равнобедренный , получаем по теореме косинусов 2BE^2(1+cos2B)=2BE^2 cos2B=0 B=45 гр .
Тогда CEB=180-AEC=180-2ABC , значит треугольник BEC равнобедренный и BE=EC , аналогично AF=BF .
По теореме о секущих
BE*AB=BF*BC
Тогда AB=BC*BF/BE
По условию S(BEF) = S(AEFC) Выразим через стороны S(EBF) = BE*BF*sin2B/2 , S(AECF) = S(ABC)-S(BEF) = BF*BC^2/BE * sinB/2 .
Приравнивая получаем
BC=BE*sqrt(2)
AB=BF*sqrt(2)
Учитывая то что треугольник BEC равнобедренный , получаем по теореме косинусов
2BE^2(1+cos2B)=2BE^2
cos2B=0
B=45 гр .