Треугольник ABC равносторонний. На сторонах AB и AC выбрали точки E и F, а на продолжении стороны AB — точку K так, что AE=CF=BK. Точка P — середина EF. Докажите, что угол KPC прямой.
пусть для какого-то i верно, что 1+2+4+8+...+2^i=2^(i+1)-1
тогда 1+2+4+8+...+2^i+2^(i+1)=2^(i+1)+2^(i+1)-1=2^(i+2)-1
ч.т.д.
Теперь заметим, что если у нас есть 2^101 монет, то нам потребуется 101 взвешивание т.к. за 1 взвешивание мы отсекаем не больше половины монет.
Теперь заметим, как мы сможем взвесить 2^100+2^99+2^98++2+1
Взвесим первые 2^100 монет, разбив их на 2 кучки.
Если кучки весят одинаково(все монеты настоящие), то берем следующие 2^99, 2^98, и т.д.
Если первые 2+4+8+...2^100 монет настоящие, то последняя монета - фальшивая. пусть на i шаге нашлась кучка из 2^(100-i) монет, среди которых есть ненастоящяя. тогда у нас есть еще (100-i) взвешиваний, и мы сможем определить фальшивую монету.
арифметический) 1) 16-1=15 (руб.) - сумма с вычетом 1 рубля. 2) Если бы у Миши было столько денег сколько у него сейчас и еще половину этой суммы, т.е. соотношение 1: или 1:0,5 1+0,5=1,5 части всего 15:1,5 = 10 рублей составляет 1 часть. 10* = 5 рублей - составляет половина одной части. Значит, у Миши сейчас 10 рублей.
алгебраический) Примем деньги Миши, которые у него сейчас есть, за х рублей. Половина этой суммы будет составлять 0,5х. Составим и решим уравнение: х+0,5х+1=16 1,5х=16-1 1,5х=15 х=15:1,5 х=10 рублей - сейчас у Миши. ОТВЕТ: у Миши сейчас 10 рублей.
(проверка: 10 руб. + 5 руб. (половина) + 1 руб. = 16 руб.)
Лемма ученика 57 школы: 1+2+4+8+...+2^n= 2^(n+1)-1
Докажем по индукции:
База:
1 = 2-1
1+2 = 3 = 4-1
Шаг:
пусть для какого-то i верно, что 1+2+4+8+...+2^i=2^(i+1)-1
тогда 1+2+4+8+...+2^i+2^(i+1)=2^(i+1)+2^(i+1)-1=2^(i+2)-1
ч.т.д.
Теперь заметим, что если у нас есть 2^101 монет, то нам потребуется 101 взвешивание т.к. за 1 взвешивание мы отсекаем не больше половины монет.
Теперь заметим, как мы сможем взвесить 2^100+2^99+2^98++2+1
Взвесим первые 2^100 монет, разбив их на 2 кучки.
Если кучки весят одинаково(все монеты настоящие), то берем следующие 2^99, 2^98, и т.д.
Если первые 2+4+8+...2^100 монет настоящие, то последняя монета - фальшивая. пусть на i шаге нашлась кучка из 2^(100-i) монет, среди которых есть ненастоящяя. тогда у нас есть еще (100-i) взвешиваний, и мы сможем определить фальшивую монету.
По лемме ученика 57 школы 1+2++2^100= 2^101-1
а 2^101 монет быть не может.
ответ:2^101-1
1) 16-1=15 (руб.) - сумма с вычетом 1 рубля.
2) Если бы у Миши было столько денег сколько у него сейчас и еще половину этой суммы, т.е. соотношение 1:
1+0,5=1,5 части всего
15:1,5 = 10 рублей составляет 1 часть.
10*
Значит, у Миши сейчас 10 рублей.
алгебраический)
Примем деньги Миши, которые у него сейчас есть, за х рублей.
Половина этой суммы будет составлять 0,5х.
Составим и решим уравнение:
х+0,5х+1=16
1,5х=16-1
1,5х=15
х=15:1,5
х=10 рублей - сейчас у Миши.
ОТВЕТ: у Миши сейчас 10 рублей.
(проверка: 10 руб. + 5 руб. (половина) + 1 руб. = 16 руб.)