В лотерее среди 100 билетов 5 с выигрышем 1000 руб., 15 – 100 руб., 25 – 10 руб., остальные по 0. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
А) Точки экстремума. Находим производную заданной функции: f'(-2x^3+15x^2-36x+20) = -6x²+30x-36 = -6(x²-5x+6). Приравниваем её нулю: -6(x²-5x+6) = 0. x²-5x+6 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:D=(-5)^2-4*1*6=25-4*6=25-24=1; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(√1-(-5))/(2*1)=(1-(-5))/2=(1+5)/2=6/2=3;x_2=(-√1-(-5))/(2*1)=(-1-(-5))/2=(-1+5)/2=4/2=2.
Получили 2 критические точки: х = 2, х = 3. Смотрим, как ведёт себя производная вблизи критических точек: х = 1.5 2 2.5 3 3.5 у = -4.5 0 1.5 0 -4.5. В точке х=2 знак производной меняется с - на + это минимум (локальный) функции, в точке х=3 знак производной меняется с + на - это максимум (локальный) функции.
в) Интервалы убывания. Где производная отрицательна - там функция убывает. Так как уравнение производной - парабола ветвями вниз (коэффициент при х² отрицателен),то отрицательные значения лежат при x < 2 и x > 3.
c) Интервалы вогнутости. Для этого находим вторую производную: f''(-6x²+30x-36) = -12x + 30 = -6(2x - 5). Приравниваем нулю: -6(2x - 5) = 0 х = 5/2 это точка перегиба графика функции. Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точке перегиба: х = 2 2.5 3 y'' = 6 0 -6. Если на интервале f''> 0 , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если f'' < 0 , то функция имеет выпуклость. Вогнутая на промежутке (-oo, 5/2], Выпуклая на промежутке [5/2, oo).
Находим производную заданной функции:
f'(-2x^3+15x^2-36x+20) = -6x²+30x-36 = -6(x²-5x+6).
Приравниваем её нулю:
-6(x²-5x+6) = 0.
x²-5x+6 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-5)^2-4*1*6=25-4*6=25-24=1;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(√1-(-5))/(2*1)=(1-(-5))/2=(1+5)/2=6/2=3;x_2=(-√1-(-5))/(2*1)=(-1-(-5))/2=(-1+5)/2=4/2=2.
Получили 2 критические точки:
х = 2,
х = 3.
Смотрим, как ведёт себя производная вблизи критических точек:
х = 1.5 2 2.5 3 3.5
у = -4.5 0 1.5 0 -4.5.
В точке х=2 знак производной меняется с - на + это минимум (локальный) функции, в точке х=3 знак производной меняется с + на - это максимум (локальный) функции.
в) Интервалы убывания.
Где производная отрицательна - там функция убывает.
Так как уравнение производной - парабола ветвями вниз (коэффициент при х² отрицателен),то отрицательные значения лежат при x < 2 и x > 3.
c) Интервалы вогнутости.
Для этого находим вторую производную:
f''(-6x²+30x-36) = -12x + 30 = -6(2x - 5).
Приравниваем нулю:
-6(2x - 5) = 0
х = 5/2 это точка перегиба графика функции.
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точке перегиба:
х = 2 2.5 3
y'' = 6 0 -6.
Если на интервале f''> 0 , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если f'' < 0 , то функция имеет выпуклость.
Вогнутая на промежутке (-oo, 5/2],
Выпуклая на промежутке [5/2, oo).
2 sin x = -1
sin x = -1/2
x = (-1) ^ n * (- п/6) + пn
2) tg (3x - п) = 0
3x - п = пn
3x = пn + п
х = пn/3 + п/3
3) 2 cos x + √3 = 0
2 cos x = - √3
Cos x = - √3/2
X = ±5π/6 + 2πn
4) 2 sin 2x = √3
Sin 2x = √3 / 2
2X = (-1)^n * π/3 + πn
X = (-1)^n * π/6 + πn/2
5) sin x - √3 cos x = 0
2 sin (x- π/3) = 0
Sin (x - π/3) = 0
X - π/3 = πn
X = π/3+ πn
6) tg 2x = 1
2x = π/4 + πn
X = π/8 + πn/2
7) 2 sin x = 1
Sin x = ½
X = (-1)^n * π/6 + πn
8) 8 sin ^ 2 x – 10 sin x – 7 =0
Замена sin x = t, -1 ≤ t ≤ 1
8 t^2 – 10 t – 7 =0
D = 100+7*8*4 = 324
T1 = (10 + 18) / 16 = 28/ 16 = 7/4 – не удовлетворяет условию замены
T2 = (10 - 18) / 16 = -8 / 16 = -1/2
Обратная замена:
Sin x = -1/2
X = (-1)^n *(-π/6) + πn
9)4 sin 2x + 10 cos 2x = 1
2 √29 sin (2x +arctg 5/2) = 1
sin (2x +arctg 5/2) = 1 / 2 √29
2x +arctg 5/2 = (-1) ^n * arcsin (1 / 2 √29) + πn
2x = (-1) ^n * arcsin (1 / 2 √29) + πn - arctg 5/2
X = (-1) ^n * arcsin (1 / 2 √29)/2 + πn/2 – (arctg 5/2) / 2