В треугольнике ABC точки P и Q - Точки пересечения прямой, параллельной BC и проходящей через вершину A, с биссектрисами внешних углов B и C треуголника соответственно. Перепендикуляр к прямой BP, восставленный в точке P, и перпендикуляр к прямой CQ, восстановленный в точке Q, пересекаются в точке R. Пусть I - центр вписанной окружности треуголника ABC. Докажите, что AI=AR.

Пусть где-то стоит единица. Рядом с ней может стоять только 2 (пусть она стоит справа) и 3 (слева). Среди чисел от 1 до 100 встречаются чётные и нечётные числа. Очевидно, правее двойки могут стоять только чётные числа (Ч + 2 = Ч, Ч*2 = Ч), значит, слева от 3 должны быть все нечётные числа: 5, 7, 9, ..., 99. Получается, 99 встретится с каким-то чётным числом. Натуральным числом, отличающимся от 99 в два раза может быть только 198, что больше 100 (если число отличается на 2, то оно нечётное, поэтому этот случай не рассматриваем). Значит, такого быть не может.

ответ: нет

Пусть в бассейне было изначально m литров воды. Каждый день добавляют х литров и скорость выпивания одного суслика v литров воды в день. Тогда в первый день в бассейне будет m+x литров, во второй m+2x литров и т.д. В n-ый день будет m+nx литров. 
Т.к. скорость выпивания 183 сусликами равна 183v и выпили они за 1 день, то m+1*x=183v*1, т.е. m+x=183v.
Аналогично, череза 5 дней воды будет m+5x и она будет выпита со скоростью 37v за 5 дней. Т.е. m+5x=37v*5.
Вычитая эти уравнения получим 4х=2v, т.е. v=2x и m=365x
Нам надо найти n, такое, что m+nx=vn - количество литров воды, выпитое одним сусликом за n дней. Таким образом,  365x+nx=2xn, сокращаем на х и получаем n=365.