в угол вписаны две касающиеся внешним образом окруж- ности. длина большей из них равна 12 см, расстояние от ее центра до вершины угла равно 30 см. найдите длину меньшей окружности.
С(2) = 12 см - длина окружности с центром в точке О₂
ОО₂=30 см
Найти: С(1) - длина окружности с центром в точке О₁
Решение.
Из С(2) = 12 см находим радиус большой окружности
2·π·R₂ = 12 см или R₂ = ВО₂ =6/π см .
Длина меньшей окружности равна С(1)=2·π·АО₁ .
Радиусы обоих окружностей перпендикулярны к прямой ОВ, то есть углы О₁АО=О₂ВО. С другой стороны угол АОО₁= ВОО₂ и поэтому верно первый признак подобия треугольников:
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны..
Длина окружности вычисляется по формуле
C = 2·π·R
Дано (см. рисунок)
С(2) = 12 см - длина окружности с центром в точке О₂
ОО₂=30 см
Найти: С(1) - длина окружности с центром в точке О₁
Решение.
Из С(2) = 12 см находим радиус большой окружности
2·π·R₂ = 12 см или R₂ = ВО₂ =6/π см .
Длина меньшей окружности равна С(1)=2·π·АО₁ .
Радиусы обоих окружностей перпендикулярны к прямой ОВ, то есть углы О₁АО=О₂ВО. С другой стороны угол АОО₁= ВОО₂ и поэтому верно первый признак подобия треугольников:
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны..
Тогда по свойству подобных треугольников получим:
ВО₂ : ОО₂=АО₁ : ОО₁
Но ОО₁=ОО₂-О₂Р-РО₁ или ОО₁=ОО₂-ВО₂-АО₁. Тогда
ВО₂ : ОО₂=АО₁ : (ОО₂-ВО₂-АО₁)
Отсюда
ВО₂·(ОО₂-ВО₂) - ВО₂·АО₁ = АО₁ · ОО₂
(ОО₂ + ВО₂)·АО₁ = ВО₂·(ОО₂-ВО₂)
АО₁ = ВО₂·(ОО₂-ВО₂) : (ОО₂ + ВО₂) = 6/π· (30-6/π) : (30 + 6/π)
Теперь вычислим длину меньшей окружности
С(1)=2·π·АО₁ = 2·π·6/π·(30-6/π) : (30 + 6/π)=
=12·(30-6/π) : (30 + 6/π)=12·(30·π-6) : (30·π + 6).
ответ: 12·(30·π - 6)/(30·π + 6)