В ящике стола лежат у случайном порядке 11 тетрадей "в клетку" и 3 тетради "в линейку". ученик наудачу извлекает три тетради. найдите вероятность того, что ученик возьмет хотя бы одну тетрадь "в клетку"
Пусть на плоскости изобразили конечное количество точек и всевозможные середины отрезков с вершинами в данных точках.
Ясно, что раз изначальных точек и середин конечное количество, то всевозможные отрезки с вершинами в данных точках и серединах будут иметь конечное количество значений углов с горизонтом в данной плоскости. Благодаря этому всегда можно провести в данной плоскости такую прямую a, которая образует с горизонтом такой угол x, чтобы угол равный 90° - x отличался от всевозможных углов, которые образуют отрезки с концами в данных точках и серединах.
Таким образом, если спроецировать все точки и середины на данную прямую, то количество полученных различных проекций будет совпадать с количеством всех различных точек и середин в данной плоскости, ведь из-за отличия угла 90° - x данной прямой со всеми остальными углами не существует такой пары точек, что образовывала бы отрезок, который перпендикулярен прямой a, иначе говоря, никакие две точки не спроецируютcя в одну, при этом из теоремы Фалеса следует, что проекции всех середин являются серединами всех отрезков в вершинах полученных проекций точек.
Как видим, мы смогли свести 2-d задачу к 1-d, то есть осталось доказать, что если на некоторой произвольной прямой обозначить n точек, то получим не менее 2n - 3 середин в отрезках в данных точках.
Покажем, что при добавлении на прямую с самого правого края некоторой новой точки, количество середин увеличится как минимум на 2.
Действительно, добавив новую точку ak+1 cправа от самой правой точки ak, получим новую, cамую правую середину b2 отрезка akak+1 (cмотрите рисунок).
Cередину отрезка ak-1ak обозначим b0, а середину отрезка ak-1ak+1 как b1. Очевидно, что ak-1ak < ak-1ak+1, то есть середина b1 будет правее середины b0, по тем же самым рассуждениям середина b1 будет левее середины b2.
Как видим, имеем 3 различные не совпадающие друг с другом середины b0,b1,b2. Средина b0 была до добавления справа точки ak+1, а значит с добавлением новой точки ak+1 прибавилось как минимум две новые середины b1 и b2. Все остальные середины находятся левее точки b0 и не могут совпадать с данными тремя точками.
Очевидно, что между двумя точками ровно одна середина, тогда учитывая вышеописанный принцип из n точек можно получить как минимум: 1 + 2(n-2) = 2n-3 различных середин, ведь при прибавлении справа новой точки получаем как минимум две новые середины.
Можно добиться того, чтобы можно было получить ровно 2n-3 середин, для этого все расстояния между соседними точками должны быть одинаковыми (разбиение отрезка на равные части). В этом случае некоторые середины будут совпадать со всеми не крайними точками, которых n-2, а все остальные середины будут серединами отрезков в соседних точках, которых n-1. Всего: n-2 + n-1 = 2n-3 середины.
Пусть на плоскости изобразили конечное количество точек и всевозможные середины отрезков с вершинами в данных точках.
Ясно, что раз изначальных точек и середин конечное количество, то всевозможные отрезки с вершинами в данных точках и серединах будут иметь конечное количество значений углов с горизонтом в данной плоскости. Благодаря этому всегда можно провести в данной плоскости такую прямую a, которая образует с горизонтом такой угол x, чтобы угол равный 90° - x отличался от всевозможных углов, которые образуют отрезки с концами в данных точках и серединах.
Таким образом, если спроецировать все точки и середины на данную прямую, то количество полученных различных проекций будет совпадать с количеством всех различных точек и середин в данной плоскости, ведь из-за отличия угла 90° - x данной прямой со всеми остальными углами не существует такой пары точек, что образовывала бы отрезок, который перпендикулярен прямой a, иначе говоря, никакие две точки не спроецируютcя в одну, при этом из теоремы Фалеса следует, что проекции всех середин являются серединами всех отрезков в вершинах полученных проекций точек.
Как видим, мы смогли свести 2-d задачу к 1-d, то есть осталось доказать, что если на некоторой произвольной прямой обозначить n точек, то получим не менее 2n - 3 середин в отрезках в данных точках.
Покажем, что при добавлении на прямую с самого правого края некоторой новой точки, количество середин увеличится как минимум на 2.
Действительно, добавив новую точку ak+1 cправа от самой правой точки ak, получим новую, cамую правую середину b2 отрезка akak+1 (cмотрите рисунок).
Cередину отрезка ak-1ak обозначим b0, а середину отрезка ak-1ak+1 как b1. Очевидно, что ak-1ak < ak-1ak+1, то есть середина b1 будет правее середины b0, по тем же самым рассуждениям середина b1 будет левее середины b2.
Как видим, имеем 3 различные не совпадающие друг с другом середины b0,b1,b2. Средина b0 была до добавления справа точки ak+1, а значит с добавлением новой точки ak+1 прибавилось как минимум две новые середины b1 и b2. Все остальные середины находятся левее точки b0 и не могут совпадать с данными тремя точками.
Очевидно, что между двумя точками ровно одна середина, тогда учитывая вышеописанный принцип из n точек можно получить как минимум: 1 + 2(n-2) = 2n-3 различных середин, ведь при прибавлении справа новой точки получаем как минимум две новые середины.
Можно добиться того, чтобы можно было получить ровно 2n-3 середин, для этого все расстояния между соседними точками должны быть одинаковыми (разбиение отрезка на равные части). В этом случае некоторые середины будут совпадать со всеми не крайними точками, которых n-2, а все остальные середины будут серединами отрезков в соседних точках, которых n-1. Всего: n-2 + n-1 = 2n-3 середины.
Что и требовалось доказать.
8 | 2 16 | 2 28 | 2
4 | 2 8 | 2 14 | 2
2 | 2 4 | 2 7 | 7
1 2 | 2 1
8 = 2³ 1 28 = 2² · 7
16 = 2⁴
НОД (8; 16 и 28) = 2² = 4 - наибольший общий делитель
8 : 4 = 2 16 : 4 = 4 28 : 4 = 7
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
12 | 2 18 | 2 24 | 2
6 | 2 9 | 3 12 | 2
3 | 3 3 | 3 6 | 2
1 1 3 | 3
12 = 2² · 3 18 = 2 · 3² 1
24 = 2³ · 3
НОК (12; 18 и 24) = 2³ · 3² = 72 - наименьшее общее кратное
72 : 12 = 6 72 : 18 = 4 72 : 24 = 3
ответ: НОД (8; 16 и 28) = 4; НОК (12; 18 и 24) = 72.