1. Дана матрица А. Постройте соответствующий ей граф, имеющий матрицу А своей матрицей смежности. Удалите из графа кратные ребра. Найдите матрицу инцидентности для построенного графа.
Положим что данное выражение равно s(n) , и преобразуем s(n)=2^(2^n)+2^(2^(n-1))+1=(2^(2^(n-1))+1)^2-2^(2^(n-1)) 1) Используя формулу разности квадратов , разложим на множители число s , для определенного n имеем s(n)=(2^(2^(n-1))-2^(2^(n-2))+1)*(2^(2^(n-2))-2^(2^(n-3))+1)*(2^(2^(n-3))-2^(2^(n-4))+1)*...*7 (7-это число s при n=1) 2) докажем что каждые два множителя s (вышеописанные множители) взаимно просты. 3)Для начала возьмём какие-нибудь два числа вида 2^(2^n)+1 и 2^(2^k)+1 , тогда докажем что НОД этих чисел будет равен 1. Без потери общности , положим n>k>0 , то все по той же разности квадратов получим 2^(2^n)+1=(2^(2^(n-1))+1)*(2^(2^(n-2))+1)*(2^(2^(n-3))+1)*...(2^(2^k)+1)*...*5 + 2 То есть это говорит о том что, число 2^(2^(n))+1 при деланий на 2^(2^(k))+1 даёт остаток равный 2 и НОД(2^(2^(k))+1 , 2)=1 так как числа рассматриваемого вида , всегда нечётна . То есть числа взаимно простые. 4)Теперь докажем пункт номер 2. Рассмотрим числа вида X=2^(2^k)-2^(2^(k-1))+1 и Y=2^(2^m)-2^(2^(m-1))+1 Используя формулу (a^2-a+1)(a+1)=a^3+1, заменим (2^(2^(k-1))+1)=u и (2^(2^(m-1))+1)=v получим что X*(2^(2^(k-1))+1)=X*u=2^(3*2^(k-1))+1=A , аналогично Y*(2^(2^(m-1))+1)=Y*v=2^(3*2^(m-1))+1=B Для чисел A и B рассуждая абсолютно аналогично как и в пункте 3 , следует что нод (A,B)=1 то есть они взаимно просты. Стало быть если НОД(X*u,Y*v)=1 и НОД(u,v)=1 значит и НОД(X,Y)=1 тем самым пункт 2 доказан. 5) Если записать упрощенна s(n)=a1*a2*a3*a4***a(n-1)*..*7 из пункта 2 следует (то что любые два числа взаимно просты) , это значит что у s(n) не существует простых делителей вида p^a где p-простое число , "a" целое положительное. В свою очередь это значит что если числа a1,a2,a3 итд являются сами простыми , то у него будет ровно n делителей , если хотя бы какое одно число не простое , то при разложений его , на простые множители , учитывая пункт 2, очевидно что будет больше чем n делителей.
а) сумма 3 x и 5 x равна 96
3х + 5х = 96
8х = 96
х = 96 : 8
х = 12
проверка: 3 * 12 + 5 * 12 = 36 + 60 = 96 - верно
б) разность 11у и 2у равна 99
11 у - 2 у = 99
9 у = 99
у = 99 : 9
у = 11
проверка: 11 * 11 - 2 * 11 = 121 - 22 = 99 - верно
в) 3z больше, чем z на 48
3z - z = 48
2z = 48
z = 48 : 2
z = 24
проверка: 3 * 24 - 24 = 72 - 24 = 48 - верно
г) 27m на 12 меньше, чем 201.
27 м + 12 = 201
27 м = 201 - 12
27 м = 189
м = 189 : 27
м = 7
проверка: 27 * 7 + 12 = 189 + 12 = 201 - верно
д) 8n вдвое меньше чем 208
208 :( 8n) = 2
8n = 208 : 2
8n = 104
n = 104 : 8
n = 13
проверка: 208 : (8 * 13) = 208 : 104 = 2 - верно
е) 380 в 19 раз больше чем 10 р
380 : (10р) = 19
10 р = 380 : 19
10р = 20
р = 20 : 10
р = 2
проверка : 380 : ( 10 * 2) = 380 : 20 = 19 - верно