Вася нарисовал выпуклый многоугольник,у которого больше трех сторон, и провел в нем все диагонали. Оказалось, что количество диагоналей кратно 1074. При каком наименьшем количестве сторон многоугольника такое могло быть?

Построим высоту АН к стороне ВС. 
в прямоугольном треугольнике АВН угол В = 45 градусов (по условию), тогда угол ВАН = 90 - 45 = 45 градусов => треугольник равнобедренный, ВН = АН.
известно, что АВ = 10, пусть АН = ВН = х, 
тогда по теореме Пифагора 100 = х^2 + x^2; 100 = 2x^2; x^2 = 50; х = корень из 50; 

треугольник АНС - прямоугольный. 
угол С = 60 градусов (по условию), тогда угол НАС = 90 - 60 = 30 градусов.
пусть АС = 2х, тогда СН = х (так как катет, лежащий против угла, равного 30 градусов, равен 1/2 гипотенузы).
по теореме Пифагора 4х^2 = 50 + х^2; 3х^2 = 50; х^2 = 50/3; х = 5 корней из 2/3
АС=2*5 корней из 2/3= 10 корней из 2/3

1 рабочий: Пусть х-время работы( часы). Изготавливает 780 дет. Значит его скорость работы = 780\х
2 рабочий: Если у первого-х, а по условию первый рабочий тратит на 4 часа меньше, значит время= х+4. Изготавливает 840 дет. Значит его скорость работы= 840\ х+4.
Разница между первой скоростью и второй составляет 2 детали в час. Составим уравнение:
780\х - 2= 840\(х+4)
780\х - 840\(х+4) - 2=0
780*(х+4)-840х - 2*(х²+4х)=0
780х+3120-840х-2х²-8х=0
-2х²-68х+3120=0
2х²+68х-3120=0
х²+34х-1560=0
D: 34²-4*(-1560)= 1156+6240=7396 √7396=86
1)х= -34-86\2= -120\2=-60 ( Не удовлетворяет условию, так как работа не может быть отрицательной)
2) х= 86-34\2=52\2=26.
Теперь поу словию, нам нужно найти работу 1 рабочего=( 780\х)= 780\26=30.
ответ: 30