Вася вырезал из картона треугольник и пронумеровал его вершины цифрами 1,2 и 3. Оказалось, что если Васин треугольник повернуть 9 раз по часовой стрелке вокруг его вершины под номером 1 на угол, равный углу при этой вершине, то треугольник вернется в исходное положение. Если Васин треугольник повернуть 36 раз по часовой стрелке вокруг его вершины под номером 2 на угол, равный углу при этой вершине, то треугольник вернется в исходное положение. Вася утверждает, что если повернуть его треугольник n раз вокруг вершины под номером 3 на угол, равный углу при этой вершине, то треугольник вернется в исходное положение. Какое минимальное n мог назвать Вася так, чтобы его утверждение было правдивым хотя бы для какого‑то картонного треугольника?

1) Пусть x - одно из чисел, тогда   (12-x)  - второе число
Сумма кубов этих чисел, преобразованная по формуле 
x³ + (12 - x)³ = (x+ (12 -x))*(x² - x(12 - x) + (12-x)²) =
= 12*(x² - 12x + x² + 144 - 24x + x²) = 12(3x² - 36x + 144) =
= 36 (x² - 12x + 48)
По условию нужно найти наименьшее значение суммы кубов чисел, т.е. наименьшее значение функции  y=36 (x² - 12x + 48).
График функции  y = 36 (x² - 12x + 48)  -  квадратичная парабола, ветви направлены вверх. Наименьшее значение функции -  вершина параболы.  Координата вершины параболы
x₀ = -b/(2a) = 12 / 2 = 6
Сумма кубов чисел наименьшая для   
12 = 6+6      6³+6³ = 216+216 = 432

2) Пусть  х - одно из чисел, тогда   (10-х) второе число.
Произведение чисел должно быть наибольшим  ⇒
Нужно найти наибольшее значение функции  y = x*(10-x)
График  функции  y = 10x - x²  - квадратичная парабола, ветви направлены вниз, наибольшее значение функции - вершина параболы. Координата вершины параболы
x₀ = -b/(2a) = -10/(-2) = 5
Произведение чисел наибольшее для
10 = 5+5        5*5 = 25

Возможно, речь идёт об одном из величайших произведений русского церковного зодчества начала XVIII века – Успенском соборе Астраханского кремля. Успенский храм был сооружен крепостным мастером Дорофеем Мякишевым в виде корабля правильной кубической формы и искусно украшен белокаменным декором. Этот двухэтажный собор по праву считается самым достойным из исторических объектов Нижней Волги, а восьмидесятиметровый силуэт четырёхъярусной колокольни, словно рассекающей волны океана, виден из любой точки города.