Вершини піраміди знаходяться у точках A, B, C і D. Обчислити: а) Довжину ребра АВ; б) Кут між ребрами АВ і АС; в) площу грані АВС; d) об'єм піраміди АБСД. A(7; 5; 8) B(-4; -5; 3) C(2; -3; 5) D(5; 1; -4)

Вершини піраміди знаходяться у точках:

A(7; 5; 8) B(-4; -5; 3) C(2; -3; 5) D(5; 1; -4).

Обчислити: а) Довжину ребра АВ;

Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} = (-4-7; -5-5; 3-8) = (-11; -10; -5).

Длина ребра АВ = √((-11)² + (-10)² + (-5)²) = √(121+100+25) =√246.

б) Кут між ребрами АВ і АС;

Вектор АВ = (-11; -10; -5), его модуль равен √246.

Вектор АС={xС-xA, yС-yA, zС-zA} = (2-7; -3-5; 5-8) = (-5; -8; -3).

Длина ребра АC = √((-5)² + (-8)² + (-3)²) = √(25+64+9) =√98.

cos(AB_AC) = (-11*-5+-10*-8+-5*-3)/(√246*√98) = 150/155,2675111= =0,966074609

Угол равен 0,261224 радиан или 14,96703 градуса.                    

в) площу грані АВС;

Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения: S = (1/2)|AB*AC|.

АВ =(-11; -10; -5), АС = (-5; -8; -3). АВхАС =

=  i        j        k|        i          j

-11     -10     -5|      -11       -10

-5     -8       -3|     -5        -8   =   30i + 25j + 88k - 33j - 40i - 50k =

                                       =   -10i - 8j + 38k.

Модуль равен √((-10)² + (-8)² +38²) = √1608 ≈ 40,0999.

Площадь S = (1/2)*√1608 ≈ 20,0499.

d) об'єм піраміди АБСД.

Объём пирамиды V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.

АВ хАС = (-10; - 8;  38),

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} = (-2; -4;  -12),

           |AD) = √164 ≈ 12,80625.

ABxAC    =    -10      -8       38

     АD    =     -2       -4       -12

(1/6)*|(ABxAC)*AD| = (1/6)*|(20 + 32 - 456)| = 404/6 ≈ 67,3333.